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1、第七章 方差分析n一、 方差分析的基本问题 n二、 单因素方差分析n三、 双因素方差分析方差分析（Analysis of Variance, ANOVA)是假设 检验的一种延续与扩展，它可以解决诸如多个均值是 否相等等方面的检验问题，在因素分析中具有一定的 优势。例4：一个儿童食品制造商生产儿童麦片，该制造商认为 以下三种因素影响麦片味道：（1）麦片中小麦与玉米的比例；（2）甜味剂类型的选择：糖、蜂蜜等；（3）制作时间的长短。该例中，食品制造商通过生产出不同类型的麦片并邀请儿 童进行品尝试验，最后发现：（1）麦片成份及甜味剂类型对麦片食味有很大影响；（2）制作时间对麦片食味没有影响。一、 方差
2、分析的基本问题因此，食品制造商可以对麦片成份及甜味 剂类型给予充分的关注以生产更合儿童口味的 麦片，而对制作时间不必太介意。方差分析可以用来分析不同因素（如上例 中小麦与玉米的比例、甜味剂类型、制作时 间）对总体特征是否有显著影响。 所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均 值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借 助于方差助于方差 这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的 分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进 行方差分析时，需要考
3、察数据误差的来源行方差分析时，需要考察数据误差的来源方差分析主要用来对多个总体均值是否相等作 出假设检验。例：某饮料制造商生产一种新型饮料，共有四 种颜色： (1)橘黄、(2)粉红、(3)绿色、(4)无色。 该制造商想知道颜色是否对销售量有显著影响 ，随机抽取了5家超市前一期的销售量（下表） 进行分析。 一、方差分析的内容下表 四种饮料销售量情况样本均值 27.32 29.56 26.44 31.46样本方差 2.67 2.14 3.31 1.66样本标准差 1.64 1.46 1.82 1.29 四种颜色可以看作是四个总体四种颜色可以看作是四个总体其中， i(I=1,2,3,4) 表示所有饮
4、料（无色、粉红、橘黄、绿色 ）销售量之均值。样本来自于一 个相同的总体样本来自于不同的总体要知道颜色是否对饮料销售有显著影响，就是 要知道四种颜色饮料销售量的均值是否有显著差 异，即进行下述假设检验：H0: 1=2=3=4H1: 四个总体均值不全相等1 1、相关术语、相关术语因素：是一个独立的变量，是方差分析的研究 对象（上例中的饮料颜色）；二、方差分析的假设单因素方差分析：只针对一个因素进行分析；多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。水平：因素中的内容（上例中饮料的四种颜色：无色、粉色、橘黄色、绿色 ）2 2、进行方差分析必须满足如、进行方差分析必须满足如下下假设假设（1）每个总体的相应
5、变量（因素）服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布 总体的简单随机样本总体的简单随机样本 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布 （2）所有总体相应变量（因素）的方差相等2 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同 （3）不同观察值（水平）相互独立（每个样本点的取值不影响其他样本点的取值） 比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立比如，每个
6、超市的销售量都与其他超市的销售量独立在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有 显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四 个正态总体的均值是否相等的问题 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体 均值相等的证据也就越充分 样本均值越不同，我们推断总体均值不同的 证据就越充分 n 如果原假设成立，即H0: 1 = 2 = 3 = 4n四种颜色饮料销售的均值都相等n没有系统误差n 这意味着每个样本都来自均值为、差为2 的同一正态总体 X Xf(X)f(X) 1 1 2 2 3 3 4 4n如果备择假设成立，即H1: i (i=1，2，3，4)
7、不全相 等n至少有一个总体的均值是不同的n有系统误差n 这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总 体 X Xf(X)f(X) 3 3 1 1 2 2 4 4观察值之间的差异来自两个方面：某因素不同水平的影响 （系统性影响）其他随机因素的影响 （随机性影响）水平间方差 （组间方差）水平内方差 （组内方差）三、方差分析的原理如果原假设成立：说明某因素不同水平的影响不显著（无系统 性影响），只剩下随机性影响，因此组间方差与组内方差差别不 大，它们的比接近于1。如果原假设不成立：说明某因素不同水平的影响显著（存在系 统性影响），组间方差与组内方差差别较大，它们的比远超出1。二、单因素方差分析的步骤
8、二、单因素方差分析的步骤 提出假设提出假设 构造检验统计量构造检验统计量 统计决策统计决策提出假设一般提法 H0: 1 = 2 = k (因素有k个水平） H1: 1 ，2 ， ，k不全相等对前面的例子 H0: 1 = 2 = 3 = 4 颜色对销售量没有影响 H0: 1 ，2 ，3， 4不全相等 颜色对销售量有影响构造检验的统计量为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 构造统计量需要计算 水平的均值 全部观察值的总均值 离差平方和 均方(MS) 构造检验的统计量 (计算水平的均值 )假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单 随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的 全部观察值总和除以观察值
9、的个数 计算公式为 式中：式中： n ni i为第为第 i i 个总体的样本观察值个数个总体的样本观察值个数x xij ij 为为第第 i i 个总体的第个总体的第 j j 个观察值个观察值 构造检验的统计量 (计算全部观察值的总均值 )全部观察值的总和除以观察值的总个数 计算公式为 构造检验的统计量 (前例计算结果 ) 表8-2 四种颜颜色饮饮料的销销售量及均值值超市 ( j )水平A ( i )无色(A1)粉色(A2)橘黄色(A3)绿绿色(A4)1 2 3 4 526.5 28.7 25.1 29.1 27.231.2 28.3 30.8 27.9 29.627.9 25.1 28.5 2
10、4.2 26.530.8 29.6 32.4 31.7 32.8合计计136.6147.8132.2157.3573.9水平均值值观观察值值个数x1 =27.32 n1=5x2=29.56 n2=5x3=26.44 n3=5x4=31.46 n4=5总总均值值 x =28.695构造检验的统计量 (计算总离差平方和 SST)全部观察值 与总平均值 的离差平方和 反映全部观察值的离散状况 其计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SST SST = (26.5-28.695)= (26.5-28.695)2 2+(28.7-28.695)+(28.7-28.695)2 2+ +(32.8-2
11、8.695)(32.8-28.695)2 2=115.9295 =115.9295构造检验的统计量 (计算误差项平方和 SSE)每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差 平方和 反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离 差平方和 该平方和反映的是随机误差的大小 计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SSE SSE = 39.084= 39.084构造检验的统计量 (计算水平项平方和 SSA)各组平均值 与总平均值 的离差 平方和 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组 间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SSA SSA =
12、 76.8455= 76.8455构造检验的统计量 (三个平方和的关系) 总离差平方和(SST)、误差项离差平方和 (SSE)、水平项离差平方和 (SSA) 之间的关系SST SST = = SSE SSE + + SSASSA构造检验的统计量 (三个平方和的作用) SST反映了全部数据总的误差程度；SSE反映了随机 误差的大小；SSA反映了随机误差和系统误差的大小 如果原假设成立，即H1 H2 Hk为真，则表明 没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方 与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会 太大；如果组间均方显著地大于组内均方，说明各 水平(总体)之间的差异不仅有随机误差
13、，还有系统误 差 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就 是比较组间方差与组内方差之间差异的大小 为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量构造检验的统计量 (计算均方 MS)各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为 了消除观察值多少对离差平方和大小的影响， 需要将其平均，这就是均方，也称为均方差 计算方法是用离差平方和除以相应的自由度 三个平方和的自由度分别是 SST 的自由度为n-1，其中n为全部观察值的 个数 SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体) 的个数 SSE 的自由度为n-k构造检验的统计量 (计算均方 MS) SSA的均方也称组间方差，记为MSA，计算 公式为2
14、. 2. SSESSE的均方也称的均方也称组内方差组内方差，记为记为MSEMSE，计算公计算公 式为式为构造检验的统计量 (计算检验的统计量 F )将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检 验统计量F 当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k -1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即 构造检验的统计量 (F分布与拒绝域)如果均值相等，如果均值相等， F F= =MSAMSA/ /MSEMSE1 1 F F 分布分布F F ( (k k-1,-1,n n- -k k) )0 0拒绝拒绝HH0 0不能拒绝不能拒绝H H0 0F F对原假设： H0: 1=2=3=4及备择假设： H1: 四个
15、总体均值不全相等计算F值： F=MSA/MSEF=MSA/MSE=25.6152/2.4428= 10.486给出显著性水平：=0.05，查F(r-1,n-r)分布表临界值：3.24由于计算的F=10.4863.24 ，拒绝原假设，从而得出： 颜色对该公司饮料销售有显 著影响。三、双因素方差分析分析两个因素(因素A和因素B)对试验结果的影响 分别对两个因素进行检验，分析是一个因素在起作用 ，还是两个因素都起作用，还是两个因素都不起作用如果A和B对试验结果的影响是相互独立的，分别判断 因素A和因素B对试验指标的影响，这时的双因素方差分 析称为无交互作用的双因素方差分析如果除了A和B对试验结果的单独影响外，因素A和因 素B的搭配还会对销售量产生一种新的影响，这时的双因 素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析 对于无交互作用的双因素方差分析，其结果与对每个 因素分
