[工学]第6章 丁玉美

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1、第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 6.5 数字高通、 带通和带阻滤波器的设计 习题与上机题第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。因此，数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和实现滤波方法不同。正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字

2、滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊 滤波功能。如果要处理的是模拟信号，可通过A/DC和D/AC，在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 1数字滤波器的分类按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，但总起来可以分成两大类： 经典滤波器和现代滤波器。经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到 滤波的目的。例如，输入信号x(t)中含有干扰，其时域波形和频谱图分别如图6.1.1(a

3、)、(b)所示，由图可见，信号和干扰的频带互不重叠，可用图6.1.1(c)所示低通滤波器滤除干扰, 得到纯信号，如图6.1.1(d)所示。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.1.1 用经典滤波器从噪声中提取信号第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器不能有效地滤除干扰，最大限度地恢复信号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢复信号，从而达到最佳滤波的目的。本书仅介绍经典滤波器的设计分析与实现方法，而现代滤波

4、器属 于随机信号处理范畴，已超出本书学习范围。 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。它们的理想幅频特 性如图6.1.2所示。这种理想滤波器是不可能实现的，因为它们的单位脉冲响应均是非因果且无限长的，我们只能按照某些准则设计滤波器，使之在误差容限内逼近理想滤波器，理想滤波器可作为逼近的标准。另 外，需要注意的是, 数字滤波器的频率响应函数H(ej)都是以2为周期的，低通滤波器的通频带中心位于2的整数倍处，而高通滤波器的通频带中心位于的奇数倍处，这一点和模拟滤波器是有区别的。一般在数字 频率的主值区, 描述数字滤波器的频率响

5、应特性。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.1.2 理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应长 度分类，可以分成无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器和有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为： (6.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR数字滤波器系统函数; (6.1.2)式中的H(z)称为N1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种数字滤波器的设计方法有很大区别，因此下面分成两章分 别进行学习。(6.1.1)(6.1.2)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 根据滤波器对信号的处理作用又将其分为选

6、频滤波器和其他滤波器。上述低通、高通、带通和带阻滤波器均属于选频滤波器，其他滤波器有微分器、希尔 伯特变换器、频谱校正等滤波器。滤波器可用于波形形成、调制解调器、从噪声中 提取信号(见图6.1.1)、信号分离和信道均衡等。所以学习滤波器的设计与实现是必不可少的。运行本书程 序集中的绘图程序fig611b.m可以清楚地观察用滤波器分离载波频率不同的两路双边带信号的原理。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 2 数字滤波器的技术指标常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数 字滤波器的频率响应函数H(ej)用下式表示： H(ej)=|H(ej)|ej()式中，|H(ej)|称为幅频特性函数; ()

7、称为相频特性函数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出，对几 种典型滤波器(如巴特沃斯滤波器)，其相频特性是确定的，所以设计过程中，对相频特性一般不作要求。但如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，例如波形传输、图像信号处理等。本章主要研究针对幅频特性指标的选频滤波器设计。如果对输出波形有严格要求，则需要设计线性相位数字滤波器，这部分内容

8、 在第7章介绍。 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 对于图6.1.2所示的各种理想滤波器，我们必须设计一个因果可实现的滤波器去近似实现。另外，也要考虑复杂性与成本问题，因此实用中通带和阻带中都允许一定的误差容限，即通带不是完全水平的，阻带不是绝对衰减到零。此外，按照要求，在通带与阻带之间还应设置一定宽度的过渡带。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.1.3表示低通滤波器的幅频特性，p和s分别称为通带边界频率和阻带截止频率。通带频率范围为0|p，在通带中要求(11)1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.2.8 四阶切比雪夫型和巴特沃斯低

9、通滤波器的幅 频特性比较第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 这样，当|x|1时， 在0至2之间波动，函数1+ 的倒数即是幅度平方函数|Ha(j)|2。所以|Ha(j)|2在0，p上有等波纹波动，最大值为1，最小值为1/(1+2)。当p时，|Ha(j)|2随加大，很快接近于零。图6.2.8分别画出了四阶切比雪夫型和巴特沃斯低通滤波器的幅频特性，显然, 切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器有较窄的过渡带。按照(6.2.24)式，幅度平方函数与三个参数（、p、N）有关。其中与通带内允许的波动幅度有关，定义允许的通带内最大衰减p用下式表示： 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 式中 因此 这样，根据通带

10、内最大衰减 p，可以求出参数。阶数N影响过渡带的宽度，同时也影响通带内波动的疏密，因为N等于通带内最大值与最小值的总个数。设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，在s处的|Ha(j)|2用(6.2.24)式确定： (6.2.26)(6.2.27)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 (6.2.28) 令s=s/p，由s1，有可以解出(6.2.29)(6.2.30)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 3 dB截止频率用c表示， 按照(6.2.24)式，有通常取c1，因此上式中仅取正号，得到3 dB截止频率计算公式： (6.2.31)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 p通常是设计指标给定

11、的，由(6.2.27)和(6.2.29)式求出和N后，可以求出滤波器的极点，并确定归一化系统函数Ga(p)，p=s/p。下面略去繁杂的求解过程， 仅介绍一些有用的结论。设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明： (6.2.32)式中 （6.2.33）(6.2.34)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 (6.2.33)式是一个椭圆方程，长半轴为p ch(在虚轴上)，短半轴为p sh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出： 式中 (6.2.35)(6.2.36)(6.2.37)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在bp为长半轴、ap为

12、短半轴的椭圆上的点。为因果稳定，用左半平面的极点构成Ga(p)，即(6.2.38)式中, c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.24)式可导出： c=2N1，代入(6.2.38)式，得到归一化的系统函数为 (6.2.39)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 去归一化后的系统函数为 (6.2.40)按照以上分析，归纳出切比雪夫型滤波器设计 步骤： (1) 确定技术指标参数 p、p、 s和s。 p是=p时的衰减， s是 =s时的衰减，它们满足第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 这里 p就是前面定义的通带最大衰减，见(6.2.26)式。(2) 求滤波器阶数N和参数。归一化边界频率为p=1, s

13、=s/p。由(6.2.24)式得到： (6.2.41)(6.2.42)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 将以上两式代入(6.2.41)和(6.2.42)式，得到： 令(6.2.43)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 则 ，因此 (6.2.44)这样，先由(6.2.43)式求出 ，代入(6.2.44)式，求出阶数N，最后取大于或等于N的最小整数。按照(6.2.27)式求： (6.2.45)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 (3) 求归一化系统函数Ga(p)。为求Ga(p)，先按照(6.2.32)式求出归一化极点pk, k=1，2，N。(6.2.46)将极点pk代入(6.2.39)式，

14、得到： 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 (4) 将Ga(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即(6.2.47)【例6.2.2】 设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3 kHz，通带最大衰减 p=0.1 dB，阻带截止频率fs=12 kHz，阻带最小衰减 s=60 dB。解 (1) 滤波器的技术要求： 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 (2) 由(6.2.44)和 (6.2.45)式求阶数N和：第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 (3) 将极点pk、N和代入(6.2.39)式求Ga(p)： 由(6.2.46)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到： (4) 将Ga(p)去

15、归一化，得到：第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 2. 用MATLAB设计切比雪夫滤波器MATLAB信号处理工具箱函数cheb1ap，cheb1ord和cheby1是切比雪夫型滤波器设计函数。其调用格式如下: 1） z, p, k= cheb1ap(N, Rp)2） N, wpo= cheb1ord(wp, ws, Rp, As)3） N, wpo= cheb1ord(wp, ws, Rp, As, s)4） B, A= cheby1(N, Rp, wpo, ftype)5） B, A= cheby1(N, Rp, wpo, ftype, s)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 切比雪夫型滤波器设计函数与前面的巴特沃思滤波器设计函数比较，只有两点不同。一是这里设计的是切比 雪夫型滤波器； 二是格式2）和3）的返回参数与格式4）和5）的调用参数wpo是切比雪夫型滤波器的通带截止频率，而不是3 dB截止频率。其他参数含义与巴特沃思滤波器设计函数中的参数相同。系数向量B和A与数字和模拟滤波器系统函数的关系由（6.2.22）和