《最优化理论_1_1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最优化理论_1_1（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、最优化理论与方法哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 理学院理学院 戴运戴运桃桃 Email: Email: 绪绪 论论参考参考书籍书籍历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希 腊的欧几里得（Euclid，公元前300年左右），他指出 ：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大 。十七、十八世纪微积分的建立给出了求函数极值的 一些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。然 而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢， 主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了变分法 。1.1.最优化的发展概况最优化的发展概况直到上世纪40年代初，由于军事上的需要产生了 运筹学，并使优化技术首先应用于解决战争中的
2、实际 问题，例如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。近十几年来，最优化方法已陆续用到建筑结构、 化工、冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、 自动控制系统、电力系统以及电机、电器等工程设计 领域，并取得了显著效果。50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化，并 成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是 在第二次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支， 线性规划与非线性规划是其主要内容。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃 发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学 技术领域中得到应用。最优化的发展概况最优化的发展概况最优化的发展概况最优化的发展概况最优化的发展概况最优化的发展
3、概况已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不 带上盖的箱盒，试确定箱盒的长，宽，高，使箱 盒用料最省。x1x2x3例1.箱盒的优化问题2. 2. 优化问题示例优化问题示例分析： （1）箱盒的表面积的表达式； （2）优化变量确定：长x1，宽x2，高x3 ； （3）优化约束条件：（a）体积要求；（b）长度要求；数学模型数学模型优化变量 ： 目标函数：约束条件 ：例2.最大产值生产资源分配问题 分析 ：数学模型数学模型优化变量 ： 目标函数：约束条件 ：14旅行推销商问题(Travelling Salesman Problem,简记为TSP)，问题的经典提法为: 有一货物推销员要去若干个城市
4、推销货物, 从城市1出发, 经其余各城市一次, 然后回到城市1, 问选择怎样的行走路线, 才能使总行程最短(各城市间距离为已知) 。例3. TSP问题3 3最优化的数学模型最优化的数学模型 1.优化变量一个优化问题可以用一组基本参数的数值来表 示，在优化过程中进行选择并最终必须确定的各项 独立的基本参数，称作优化变量，又叫做决策变量 。最优化的数学模型是描述实际优化问题目标函数 、变量关系、有关约束条件和意图的数学表达式，它 反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行最优 化的基础。优化变量的全体实际上是一组变量，可用一个列 向量表示。优化变量的数目称为优化问题的维数，如 n个优化变量，则称为
5、n维优化问题。 图1 优化变量所组成的优化空间 （a）二维问题 （b）三维问题只有两个优化变量的二维优化问题可用图（a） 所示的平面直角坐标表示；有三个优化变量的三维 问题可用图（b）所表示的空间直角坐标表示。优化问题的维数表征优化的自由度，优化变量愈多，则问题的自由度愈大、可供选择的方案愈多，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。小型优化问题：一般含有210个优化变量；中型优化问题：1050个优化变量；大型优化问题：50个以上的优化变量。如何选定优化变量？任何一项产品，是众多变量标志结构尺寸的综合体。变量 越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和 造成优化规模过大。所以确定优化变量时应注
6、意以下几点： （1）抓主要，舍次要。 对产品性能和结构影响大的参数可取为优化变量，影响小 的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2）根据要解决问题的特殊性来选择优化变量。 2.2.约束条件优化问题中有些是工程上所不能接受的，在优化中对优化变量取值有一些限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。约束又可按其数学表达形式分成等式约束和 不等式约束两种类型：(1)等式约束(2)不等式约束3.3.目标函数在优化过程中，通过优化变量的不断向f(X)值改善的方向自 动调整，最后求得f(X)值最好或最满意的X值。在构造目标函数时，目标函数的最优值可能是最大值，也可能是最小值。在 机械设计
7、中，可作为参考目标函数的有： 体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运 动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷 最小等等。 为了对优化进行定量评价，必须构造包含优化变量的评价 函数，它是优化的目标，称为目标函数，以f(X)表示。 在优化问题中，可以只有一个目标函数，称为单目 标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种 问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的最优化问 题中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，建模的 综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。在实际工程问题中，常常会遇到在多目标函数的 某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求建模者正确 处理各目标函数之间的
8、关系。 4. 4. 优化问题一般数学形式优化问题一般数学形式 ：满足约束条件 ：求优化变量向量使目标函数对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。最优化问题的目标函数通常为求目标函数的最小值。若目标函数的最优点为可行域中的最大值时，则可看成是求 -f（X）的最小值，因为min-f（X）与max f（X）是等价的。最优化问题的分类1：按有无约束条件分无约束最优化问题：（Non-restrict Optimization
9、）：可行域：无约束最优化问题的数学模型：无约束问题是在空间 上寻求使得目标函数 达到极小或最小的点 。 5. 5. 优化设计的分类优化设计的分类约束最优化问题（Restrict Optimization）：约束最优化问题是在约束集合（Restrict Collection）上寻求使得目标函数 达到极小或最小的点 。最优化问题的分类2：按约束条件的形式分类：l 等式约束优化问题；l 不等式约束优化问题；l 混合优化问题；最优化问题的分类3：按目标函数和约束条件是否非线性分类：l 线性规划（Linear Programming）l 非线性规划（Nonlinear Programming）l 二次规
10、划:目标函数 为二次函数的线性规划问题。 6. 6. 建模实例建模实例1）根据问题要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对 优化对象进行分析，并尽可能反映该专业范围内的现代技术进 步的成果。2）对诸参数进行分析，以确定问题的原始参数、优化常数和 优化变量。3）根据问题要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件， 有时要构造多目标函数。4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于 量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。建立优化问题的数学模型一般步骤：建立优化问题的数学模型一般步骤：配料配料每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量钙钙蛋白质蛋白质纤维纤维每磅成本（元每磅成本（元 ）石灰石石灰
11、石谷物谷物大豆粉大豆粉0.380 0.00 0.000.380 0.00 0.000.001 0.09 0.020.001 0.09 0.020.002 0.50 0.080.002 0.50 0.080.0164 0.01640.0463 0.04630.1250 0.1250以最低成本确定满足所需营养的最优混合饲料。设每天需 要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不 超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定主要 配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分为 ：例例3 3 混合饲料配合混合饲料配合解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:设 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物 、大豆粉的量（磅）。人 体 每 日 所 需 主 要 营 养 成 分习题习题
