西南大学-量子力学02

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1、第二章 物质波与薛定谔方程第二章 物质波与薛定谔方程l1 德布罗意物质波 l2 微观粒子波粒二象性矛盾分析 l3 波函数的统计解释 l4 态叠加原理 l5 力学量的平均值和算符的引进 l6 Schrodinger 方程 l7 粒子流密度和粒子数守恒定律 l8 定态Schrodinger方程 2.12.1德布罗意的物质波德布罗意的物质波光学特性光学特性 波粒二象性波粒二象性物质粒子？物质粒子？ 波粒二象性？波粒二象性？对应干涉、衍射强调了光的波干涉、衍射强调了光的波 动性，忽视了光的粒子性动性，忽视了光的粒子性相反过分重视粒子 性而忽视波动性假设：自由粒子能量E及动量的粒子相联系的波的频 率及波

2、长分别为振幅振幅A A未确定的平面波未确定的平面波自由粒子的平面波有波长自由粒子的平面波有波长由于由于h h很小很小, ,只有只有m m足够小时足够小时, ,才会有可测量到的波才会有可测量到的波 长长. .因此因此, ,物质粒子的波动性首先在原子区域表现出来物质粒子的波动性首先在原子区域表现出来 解释：解释：自由粒子E,P一定，由上式知频率v,波矢k一定光学波自由粒子波平面波对应V,k确定1、戴维逊-革末实验戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子 束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释 ，从而验证了物质波的存在。1937年他们与G. P.汤姆孙一起 获得Nobel物

3、理学奖。电子衍射实验n实验装置：法拉第园 筒入射电子注镍单晶n实验现象：实验发现，单 调地增加加速电压，电子探测 器的电流并不是单调地增加的 ，而是出现明显的选择性。例 如，只有在加速电压U=54V,且 =500时，探测器中的电流才 有极大值。n实验解释：d当加速电压U=54V，加速电子的能量 eU=mv2/2，电子的德布罗意波长为X射线实验测得镍单晶的晶格 常数d=0.215nm理论值(=510)与实验结果 (=500)相差很小，表明电 子确实具有波动性，德布罗 意关于实物具有波动性的假 设是正确的。2、汤姆逊实验1927年，汤姆逊在实验中，让电子 束通过薄金属膜后射到照相底片上， 结果发现

4、，与X射线通过金箔时一样， 也产生了清晰的电子衍射图样。1993年，Crommie等人用扫描隧道显 微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上 的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形 量子围栏，用实验观测到了在围栏内形 成的同心圆状的驻波(“量子围栏”)， 直观地证实了电子的波动性。3、电子通过狭缝的衍射实验1961年，约恩孙 (Jonsson)制成长为50mm，宽为0.3mm ，缝间 距为1.0mm的多缝。用50V的加速电压加速电子，使电子束分别通 过单缝、双缝等，均得到衍射图样。X射线经晶体的衍射图电子射线经晶体的衍射图观点一: 电子波应理解为电子的某种实际结构,即电子 是无限多波长不同的平面

5、波叠加而成的波包,波包的大 小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动速度. 考虑沿考虑沿x x方向运动的自由粒子方向运动的自由粒子, ,其平面波为其平面波为 等相面: 相速相速u u满足关系满足关系: :1.单个平面波情况：2.2 2.2 微观粒子波粒二象性矛盾的分析微观粒子波粒二象性矛盾的分析在非相对论情况下在非相对论情况下, ,用德布罗意关系代入用德布罗意关系代入自由粒子的能自由粒子的能 量量动量关系动量关系 真空中的相速度是真空中的相速度是k k的函数的函数结论：物质波的相速大于真空中的光速结论：物质波的相速大于真空中的光速, , 所以它不能与所以它不能与 设定粒子的速度相同设定粒子的速

6、度相同. . 可得可得: :平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波 组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有 意义的，与实验事实相矛盾。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小1 。波包是不同波长和相速的一些简谐波的叠加波包是不同波长和相速的一些简谐波的叠加. .为简单起为简单起 见见, ,这里研究一群沿这里研究一群沿x x方向传播的波方向传播的波 : :波包中心将出现在相角波包中心将出现在相角 = =kx-kx- (k)t(k)t取极值处取极值处,因为因为 在这点附近在这点附近, ,不同波数的分波

7、相干叠加而加强得最厉害不同波数的分波相干叠加而加强得最厉害, , 而不是相消而不是相消. .这个极值点的位置用下式确定这个极值点的位置用下式确定： 即所以波包中心位置是所以波包中心位置是 2. 有限波包：物质波包的群速度为 波包形状随时间的改变：设(k)是一个很窄的波包,波 数集中在k0附近一个不大范围中.在k0附近对(k) 作泰 勒级数展开 由于正弦的幅角含有小量,C(x,t)只是随时间t和坐标x 缓慢地变化.所以,我们能把C(x,t) 当作近似单色波的 振幅,而把k0x-(k0)t作为单色波的相.把振幅的分子和 分母都乘以k,并简记为z=kx-vgt ,容易看到,振幅的 变化取决于因子,它

8、有性质图2.2.1波包: 一些快速振 动波的叠加迄今,我们忽略了(k) 级数展开中高于一 阶的项,这仅当介质无色散的时候才是允许 的.因为物质波在真空中也出现色散 这暗示波包不保持其形式, 而是逐 渐地扩展.随时间的演化,电子将愈 变愈“胖”,这与实验是矛盾的. 观点二: 波动性是由于有大量的电子分布于空间而形成波动性是由于有大量的电子分布于空间而形成 的象声波一样的疏密波的象声波一样的疏密波, ,即电子疏密相间分布而形成的即电子疏密相间分布而形成的 纵波纵波. . 实验现象：如果入射到晶体上的电子流的强度很大实验现象：如果入射到晶体上的电子流的强度很大, ,则底板上很则底板上很 快就出现衍射

9、图样快就出现衍射图样. .如果入射电子流极其微弱如果入射电子流极其微弱, ,电子几乎是一个一电子几乎是一个一 个地被晶体反射个地被晶体反射, ,这时底板上就出现一个一个的点子这时底板上就出现一个一个的点子, ,显示出电子显示出电子 的微粒性的微粒性. .这些电子在底板上的位置并不都是重合在一起的这些电子在底板上的位置并不都是重合在一起的. .开始开始 时时, ,它们看起来似乎是毫无规则地散布着它们看起来似乎是毫无规则地散布着, ,但足够长的时间后但足够长的时间后, ,底底 板上形成了衍射花样板上形成了衍射花样. .这说明粒子的波动性并不依存于大量电子这说明粒子的波动性并不依存于大量电子 在空间

10、聚集在一起在空间聚集在一起, ,单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性. . 解释：解释： 实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一 实验中的统计结果实验中的统计结果, ,或者是一个电子在许多次相同实验或者是一个电子在许多次相同实验 中的统计结果中的统计结果. .电子源感 光 屏PPOQQO观点三: 电子既是粒子电子既是粒子, ,也是波也是波, ,是粒子和波动两象性是粒子和波动两象性 的统一的统一. . 不过不过, , 这儿的波不再是经典概念下的波这儿的波不再是经典概念下的波, ,粒子粒子 也不再是经典概念下的粒子也不再是经典概念下的粒子. .电子所显

11、现的粒子性总是以具有一定的质量、电 荷等属性的客体出现,但并不与“粒子有确切的轨道” 的概念有什么必然联系.电子显现出的波动性,也只不 过是波动性中最本质的东西波的“相干叠加性”, 并不一定要与某种实际的物理量在空间的分布联系在 一起.把微观粒子的“粒子性”与波的“相干叠加性” 统一起来是玻恩提出来的几率波.2.3 2.3 物质波的统计诠释物质波的统计诠释(M.Born,1926)(M.Born,1926)（一）波函数 （二）波函数的解释 （三）波函数的性质 3个问题问题 ？ 描写自由粒子的 平 面 波如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能 量不再是常量（或不同时为常量）粒子的

12、状态就不能用平面波 描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。称为 de Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。(1) 是怎样描述粒子的状态呢？(2) 如何体现波粒二象性的？(3) 描写的是什么样的波呢？（一）波函数经典概念中 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 粒子意味着 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。经典概念中 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 波意味着 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示 衍射图样;电子源感 光 屏QQOPP我们再看一下电子的衍射实验

13、我们再看一下电子的衍射实验2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.l结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或 者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 l波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几 率。在电子衍射实验中，照相底片上 波函数的解释：波函数的解释：描写粒子的波可以认为是几率波，反描写粒子的波可以认为是几率波，反 映微观客体运动的一种统计规律性，波函数映微观客体运动的一种统计规

14、律性，波函数 (r) (r)有有 时也称为几率幅。时也称为几率幅。 这就是首先由这就是首先由 BornBorn 提出的波函数的几率解释，它是提出的波函数的几率解释，它是 量子力学的基本原理。量子力学的基本原理。假设衍射波波幅用 (r) 描述，与光学相似，衍射花 纹的强度则用 | (r)|2 描述，但意义与经典波不同。| (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率 的大小，确切的说，| (r)|2 x y z 表示在 r 点 处，体积元x yz中找到粒子的几率。波函数在空间某 点的强度（振幅绝对值平方）和在这点找到粒子的几率成比 例（三）波函数的性质（三）波函数的性质在t时刻，d=dxd

15、ydz体积内，找到由波函数 (r,t)描写的粒子的几率是：d d W(r,tW(r,t) = C|(r,t)|) = C|(r,t)|2 2dd，C是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：（1）几率和几率密度 在在t t时刻时刻r r点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是： ( ( r,tr,t) =) =dW(r,t)/ddW(r,t)/d= C|(r,t)|= C|(r,t)|2 2称为称为几率密度几率密度。在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = V dW = V( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d（2）平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和 湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应 为一，即： C | (r , t)|2 d= 1, 从而得常数 C 之值 为：C = 1/ | (r , t)|2 d这即是要求描写粒子量子 状态的波函数必须是绝 对值平方可积的函数。若 | (r,t)|2d , 则 C 0, 这 是没有意义的。注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如