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3. 除环和域n3.1 除环与域的定义n3.2 例子n3.3 四元除环(Quaternions)例1 全体有理数作成的集合对于普通加法和乘 法来说显 然是一个环。这个环的一个任意元 非零元a可逆.除环和域就是刻画这一类代数系 统.例2 R只包括一个元a，加法和乘法是：a+a=a, aa=aR显然是一个环。这个环R的唯一的元有一个 逆元，就是的本身。除环和域的定义要排除这 一种极端情况.3.1 除环与域的定义n定义 1 一个环R叫做一个除环，假如nR至少包含一个不等于零的元；nR有一个单位元；nR的每一个不等于零的元有一个逆元。 注: 这个定义的起点是环,如果以集合为起点呢?n定义 1 一个至少含两个元素的集合R叫做一 个除环，假如:R上有加法和乘法两种运算,且nR是一个加法群；nR*=R/0是乘法群；n两个分配律成立。3.1 除环与域的定义定义 一个交换除环叫做一个域。 n例3 R=所以复数对（ ）。这里，当而且只当 的时候。R的加法和乘法是n这里 表示的是共轭数：这个环叫做四元数除环 这个环叫做四元数除环
