地图与测量 第二章2

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1、地图与测量地图与测量电子教案第第 2 2 章章 地图的数学基础地图的数学基础1 1 地球的形状及大小地球的形状及大小 2 2 坐标系与大地控制点坐标系与大地控制点 3 3 地图投影地图投影 4 4 地图比例尺地图比例尺 5 5 地图分幅与编号地图分幅与编号2.1地球的形状及大小地球的形状及大小2.1.1 2.1.1 地球体地球体 浩瀚宇 宙中 : 地球是 一个表 面光滑 、蓝色 美丽的 正球体 。事实是：地球不是一个正球体，而是一个极半径略短 、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近 于梨形的椭球体。机舱窗口俯视大地机舱窗口俯视大地 : :地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。珠穆朗 玛峰与

2、 太平洋 的马里 亚纳海 沟之间 高差近 20km。2.1. 2 大地体-地球体的物理表面当海洋静止时，自由水面与该面上各点 的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫 水准面。 在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛 屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面 。它实际是一个起伏不平的重力等位面 地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。2.1 2.1 地球形状地球形状在测量和制图中就用旋转椭球体来代替 大地球体，这个旋转椭球体通常称为 地球 椭球体，简称 椭球体。它是一个规则的数学表面，所以人 们视其为 地球体 的数学表面，也是 对地球形体的二级 逼近，用于测量计 算的基

3、准面。2.1. 3 参考椭球体-地球体的数学表面椭球体 三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 fEquatorial AxisPolar AxisNorth PoleSouth PoleEquatoraba - b 6378137 - 6356752.3f = = a 63781371 = 298.257f对 a，b，f 的具体测定就是近代 大地测量的一项重要工作。2.1.4 椭球定位与定向对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准 面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水 准面符合最好的一个地球椭球体 参考椭球体， 这项工作就是参考椭球体定位。通过数学

4、方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近。地球自然表面、大地水准面和椭球面关系示意图由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故 地球椭球体的元素值有很多种。我国采用的两个参考椭球体及GPS 测量 使用的参考椭球元素 地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学 研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就 是球面坐标系统的建立。2.2 坐标系与大地控制点坐标系与大地控制点1 1 地理坐标系地理坐标系 用经纬度表示地面点位的球面坐标。 天文经纬度 大地经纬度 天文经纬度：表示地面点在大地水准面大地水准面上的位 置，用天文经

5、度l 、天文纬度 表示。天文经度 ：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。在地球上定义为本初子午面与观测点之间 的两面角。天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。 大地经纬度：表示地面点在参考参考 椭球面椭球面上的位置，用大地经度l 、 大地纬度 和大地高 h 表示。大地经度L：指参考椭球 面上某点的大地子午面与 本初子午面间的两面角。 东经为正，西经为负。大地纬度B：指参考椭球 面上某点的垂直线（法线 ）与赤道平面的夹角。北 纬为正，南纬为负。2）地理坐标的获取方法 经纬度测定的方法主要有两种方法，即天 文测量和大地测量两种。天文经度测量天文经度的确定基本上是一个计

6、算时间差 的问题。第一步，观测恒星，确定地方恒星时。第二步，接收无线电讯号，求得同一瞬间 本初子午线的恒星时，两者之差就是当地的 天文经度。求地面点概略经度的方法我国规定当太阳位于东经120的子午面上 时，时间为12时(即北京时12时)。天文纬度测 量北极星法： 在北半球地 区，北极星与 地平线的夹角 就是观察者所 处的纬度。太阳观测法： 测量正午时分的太阳高度角，此时太阳 在当地的高度角最大。如果太阳的直射点总 在赤道，那么各地的天文纬度就简单等于 90减去正午太阳高度角。然而这种计算仅 仅在春分(3月21或22日)和秋分(9月22或23 日)时是正确的，在其他日期内计算天文纬 度必须考虑太

7、阳的偏角，如图2-6（b）所示 ，其计算公式为： =90- A 以南京为例，计算其纬度：在春分和秋分日，太 阳直射赤道，=0，南京的正午太阳高度角为58， 计算出其纬度为32。在夏至日，太阳直射北回归 线，= 2327，南京的正午太阳高度角为8127； 在冬至日，太阳直射南回归线， = -2327，南京 的正午太 阳高度角为3433，计算出南京的纬度也 为32。2.中国的大地坐标系19531980年采用克拉索夫斯基椭球体 （坐标原点是前苏联普尔科沃） ；自1980年开始采用 GRS 1975（国际大 地测量与地球物理学联合会 IUGG 1975 推 荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县 永乐镇

8、北洪流村为“1980西安坐标系”大地 坐标的起算点。陕西省泾阳县永乐镇北 洪流村为 “1980西安坐 标系” 大地坐标的起算 点大地原点。ICA-75 椭球参数a = 6 378 140mb = 6 356 755mf = 1/298.257大地控制的主要任务是确定地面点 在地球椭球体上的位置位置平面位置（经度和纬度）高度（高程）1）大地控制2）中国的大地控制 网平面控制网 : 按统一规范，由精 确测定地理坐标的地面点组成， 由三角测量或导线测量完成，依 精度不同，分为四等。由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布 全国各地。高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面 点组成，以水准测量

9、或三角高程测量完成。依精 度不同，分为四等。中国高程起算面是 黄海平均海水面。1956年在青岛观象山设立了水准原点， 其他各控制点的绝对高程均是据此推 算，称为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布： 启用1985国家高程基准 取代 1956年黄海高程系 其比1956年黄海高程系 平均海水面上升 29毫米。 青岛观象山 水准原点2.22.2 坐标系及控制点坐标系及控制点绝对高程相对高程国家水准原点国家测绘局平面控制 网国家测绘局高程控制 网国家测绘局GPS控制网国家测绘局2.3 地图投影2.3.1 地图投影的概念地球椭球体表面是个曲面，而地图通 常是二维平面，因此在地图制图时首先要 考

10、虑把曲面转化成平面。然而，从几何意 义上来说，球面是不可展平的曲面。要把 它展成平面，势必会产生破裂与褶皱。这 种不连续的、破裂的平面是不适合制作地 图的，所以必须采用特殊的方法来实现球 面到平面的转化。地图投影就是研究将地球椭球体面上的 经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上 的方法及其变形问题。其数学公式表达为：X=f1( , )Y=f2( , )地图投影的方法很多，但用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。下图是几种不同投影的经纬线网形状 ：（1）地图投影变形的概念2.3.2 地图投影变形地球仪上的经纬线的长度的特点：第一，纬线长度不等第二，在同一条纬线上，经差相同的 纬线弧长相等第三，

11、所有经线长度相等地球仪上的经纬线网格面积的特点：第一，在同一纬度带内，经差相同的 球面网格面积相等第二，在同一经度带内，纬度愈高，网格面积愈小地球仪上的经纬线角度的特点：在图上，只有中央经线和各纬线相交成直角，其余的经线和纬线均不呈直角相交，而在地球仪上经线和纬线处处都呈直角相交，这表明地图上有角度变形地图投影变形是球面转化成平面的必然结果，没有变形的投影是不存在的。对某一地图投影来讲，不存在这种变形，就必然存在另一种或两种变形。但制图时可做到：在有些投影图上没有角度或面积变形;在有些投影图上沿某一方向无长度变形。（2）变形椭圆指地球椭球体面上的一个微小圆，投影到地图 平面上后变成的椭圆，特殊

12、情况下为圆。可证明球 面上的一个微小圆，投影到平面上之后是个椭圆。在分析地图投影时，可借助对变形椭圆和微小 圆的比较，说明变形的性质和大小。椭圆半径与小 圆半径之比，可说明长度变形。很显然，长度变形 随方向的变化而变化，其中有一个极大值，即椭圆 长轴方向，一个极小值，即椭圆短轴方向。这两个 方向是相互垂直的，称为主方向。椭圆面积与小圆 面积之比，可说明面积变形。椭圆上两方向线的夹 角和小圆上相应两方向线的夹角的比较，可说明角 度变形。（3）长度比和长度变形长度比 是投影面上一微小线段ds和椭 球面上相应微小线段ds之比。用公式表达为：=ds/ds长度比用于表示投影过程中，某一方向上 长度变化的

13、情况。1，说明投影后长度拉长 ，1，说明投影后长度缩短了；=1，则说 明特定方向上投影后长度没有变形。由长度比可引出长度变形的概念 。所谓长度变形V就是（ds-ds） 与ds之比，即长度比与1之差，用公 式表示为：V=_ ds=ds_ ds-1=-1ds-ds（4）面积比和面积变形面积比就是投影面上一微小面积dF， 与椭球体面上相应的微小面积dF之比。所谓面积变形就是（dF-dF）与dF之 比，即面积比与1之差，以VP表示面积变形 。Vp=_ dF=dF_ dF-1=-1pdF-dF（5）角度变形投影面上任意两方向线的夹角与椭球体 面上相应的两方向线的夹角之差 a - a ，称为角度变形。Si

14、n=2wbaba+-等角投影按变形性质分类等距投影等积投影任意投影2.3.3 地图投影分类投 影 构 成 方 法几何投影 条件投影 方位投影 圆柱投影 圆锥投影 伪方位投影 伪圆柱投影 伪圆锥投影 多圆锥投影 方位投影圆柱投影圆锥投影按投影面与地球的关系分类2.3.4 正轴圆锥投影经线: 投影为放 射直线，经差 l 与投 影面上 d 成正比：d = Cl （C为常数）。纬线: 投影为同 心圆弧，其半径 r 是 纬度 的函数，r = f （）圆锥投影的各种 变形均是纬度的函 数，与经度 l 无关。适于制作中纬度沿东西方向延伸地区的地图1. 正轴等角割圆锥投影条件：w = 0 ; m = n ;

15、n1 = n2 = 12.2. 百万分一地形图投百万分一地形图投 影影新编国际百万分一地图采用 双标准纬线等角圆 锥投影，自赤道起按纬差4分带，北纬84以北和南 纬80以南采用等角方位投影。中国1100万地形图编 绘规范规定采用边纬线与 中纬线长度变形绝对值相等 的双标准纬线等角割圆锥投 影,按纬差4分带长度变形最大值: 0.03% 面积变形最大值: 0.06%3.投影变形投影变形的分布规律是： 1）角度没有变形，即投影前后对应的微分图保 持图形相似，故亦可称为正形投影； 2）等变形线和纬线一致，同一条纬线上的变形 处处相等； 3）两条标准纬线上没有任何变形； 4）在同一经线上，两标准纬线外侧为正变形（ 长度比大于1），而两标准纬线之间为负变形（长 度比小于1），因此，变形比较均匀，绝对值也较 小； 5）同一纬线上等经差的线段长度相等，两条纬 线间的经线线段长度处处相等。 4.兰勃特直角坐 标系该投影的直 角坐标，是以图 幅的中经作X轴 ，中经与图幅南 边纬线的交点为 原点，过此点的 切线为Y轴，构 成平面直角坐标 系，此经纬网为 经差6、纬差4 。2.3.5 墨卡托投影该投影设想与地轴方向一致的圆柱与地球相 切或相割，将球面上的经纬线网按等角的条件投