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1、 第三章第四节 方差、协方差上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是 随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是 不够的.例如，某零件的真实长度为a，现用甲、 乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐 标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣 ，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果 甲仪器测量结果较好测量结果的 均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙较好因为乙炮的弹着点较集中在中心
2、附近 .中心 中心 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散 程度.这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差一、方差的定义 采用平方是为了保证一切差值都起正面的作用，避免正负相消。注：有的书上 也把方差记作 或设 是一个随机变量，若 存在， 则称为 的方差，称为 的标准差（或均方 差、方差 根）。若 的取值比较分散，则方差较大 .可见，方差的大小刻划了随机变量的取值与其数学期望的离散程度。若 的取值比较集中在 附近，则 方差较小；为离散型， 由定义知，方差是随机变量 的函数 的数学期望 .为连续型， 二、计算方差的一个简化公式 二项式展开 证 ：利用期望性质 这个公
3、式很重要，它不仅证明了一般情况 下 ，而且经常用它来简化方差 的计算。例1、设r.v. 服从参数为p的0-1分布，求 。解：由题知 的分布列为而前面我们已经计算过 从而例2、设r.v. 服从a,b上的均匀分布，求 。解：已知 的概率密度为而前面我们已经计算过从而解：已知 的概率密度为而前面我们已经计算过从而例3、设r.v. 服从参数为 的指数分布，求 。解: 例4、 设随机变量 的概率密度为如下，求a ，b，c。解联立方程组得三、方差的性质 与 不一定独立时， 请思考。1、D ( C )=0；设 ， 为任意随机变量，C为任意常数。 2、 ； 3、 ； 4、若 ， 相互独立，则 ；可推广至有限个
4、r.v.的情形：设 相互独立，则 例5、 设随机变量 的期望和方差为 和 ,且 ,求: 解: 的期望和方差。称为是r.v. 的标准 化随机变量。例6、 设随机变量 的期望 存在，且 ，c为一常数，则 （ ）例7、 设 为一随机变量，已知 ， 则（ ）小结：这一讲,我们介绍了随机变量的方差.它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程 度的一个数字特征 .通过方差,可以判断均值 相同的随机变量的取值情况. 数学期望和方差是随机变量的两个重要的数 字特征，反应了随机变量取值的重要信息。 大家一定要好好掌握。思考：按规定，某车站每天8:00-9:00,9:00- 10:00都恰有一辆客车到站。客车到站 的时刻是随机的，并且两车到站的时 间相互独立，其规律如下：假设现有一位外地朋友来作客，他只 有两个时间可以去候车：8:00或8:20， 想让你提个建议，你该如何建议朋友 呢？
