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1、第 5 讲主讲 孙霞安徽理工大学电气工程系数字电子技术基础第3章 组合逻辑电路的分析与设计3.1 逻辑代数3.2 逻辑代数的基本定律和基本规则 3.2 逻辑函数的卡诺图法化简3.4 组合逻辑电路的分析3.5 组合逻辑电路的设计3.6 组合逻辑电路中的竞争冒险3.1 逻辑代数 3.1.1 逻辑代数、逻辑变量逻辑一词导源于希腊文Logos，现是英文Logic的译音。所谓逻辑是指事物的前因与后果之间所遵循的规律。这种因果规律也叫逻辑关系由一定的条件得到一定的结果。当这种因果关系用逻辑电路来表示时，条件代表着电路的输入信号，逻辑结果代表着输出信号。当用逻辑代数来描述时，条件就是自变量，结果就是因变量。
2、逻辑代数又称布尔代数，是英国数学家乔治布尔(George Boole)在1847年首先提出的。逻辑代数是研究逻辑函数(因变量)与逻辑变量(自变量)之间规律性的一门应用数学，是分析和设计逻辑电路的数学工具。 逻辑代数虽然和普通代数一样，也用字母A、B、C来表示变量，但不同的是这些变量的取值范围只有0和1两个值，且0和1并不代表数量的大小，而是作为一种“符号”，用来表示两种对立的逻辑状态。 3.1.2 逻辑函数普通代数中的函数就是“随着自变量变化而变化的因变量”。同样，逻辑函数是逻辑代数中的因变量。逻辑函数的定义：如果输入逻辑变量A、B、C的取值确定以后，输出逻辑变量F的值也唯一地确定了，我们就称
3、F是A、B、C的逻辑函数，写作:F=f(A,B,C) (3.1.1)3.1.3 基本逻辑运算1 与运算“与运算”又称“与逻辑”、“逻辑乘”(Logic MultiplicAtion)。图3.1.1所示的串联开关电路是“与逻辑”的一个实例，该电路的状态关系如表3.1.1所示。显然，图中灯亮的条件是开关A和B都接通。此例子说明了这样一种因果关系：“只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生”。这种逻辑关系称为“与逻辑”。图3.1.1 与逻辑电路举例 表3.1.1 与逻辑实例状态表 与运算可以用真值表来表示。所谓真值表，就是将逻辑变量的各种可能的取值和相应的函数值排列在 一起而组成的表格
4、。例如，假设图3.1.1中的开关接通为1，断开为0；灯亮为1，灯灭为0，则由状态表3.1.1可列出其真值表如表3.1.2所示。由真值表可得到与运算的逻辑结论是：有0出0，全1出1。与运算的函数表达式为F=AB (3.1.2)多变量时F=ABC (3.1.3)表3.1.2 与运算真值表 式中的“”表示“与运算”或“逻辑乘”，读作“与”或“乘”。有时为了简单起见，“”可省略不读。F称为“逻辑积”(LogicProduct)。作为一种完整的代数学，逻辑代数可以进行运算。与运算的运算规则有：00=0 01=010=0 11=1这4个运算式子可以由真值表得到，也可以根据与逻辑的结论“有0出0，全1出1”
5、得到。由此推出A0=0 A1=A AA=A与运算的逻辑符号如图3.1.2所示，图中的“&”就是“And”，表示“与”。输入、输出端能实现与运算的电路叫做“与门”。与门的符号也就是与运算的符号。根据与运算的逻辑功能，我们还可画出其波形图。例如，假设高电平为1，低电平为0，与门的输入信号为A、B、C，则可画得输出F的波形如图3.1.3所示。图3.1.2 与运算符号 图3.1.3 与门波形图& FBACABCF2 或运算“或运算”又称“或逻辑”、“逻辑加”(Logic Addition)。图3.1.4的并联开关电路是“或逻辑”的一个实例，该电路的状态关系如表3.1.3所示。显然，图中灯亮的条件是A或
6、B中有一个以上的开关接通。此例子说明了另一种因果关系 ：“在决定一件事情的各个条件中，只要具备一个以上的条件，这件事情就会发生。”这种逻辑关系称为“或逻辑”。图3.1.4 或逻辑电路举例 表3.1.3 或逻辑实例状态表 同理，可由状态表3.1.3得到或运算的真值表如表3.1.4所示。由真值表可得到或运算的逻辑结论是：有1出1，全0出0。或运算的函数表达式为F=A+B (3.1.3)多变量时F=A+B+C+ (3.1.4)式中的“+”表示“或运算”或“逻辑加”(不是普通算术中的加号)。读作“或”或“加”。F称为“逻辑和”(LogicSum)。表3.1.4 或运算真值表 或运算的运算规则有：0+0
7、=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1这4个运算式子可以由真值表得到，也可以根据或逻辑的结论“有1出1，全0出0”得到。由此推出A+0=A A+1=1 A+A=A值得指出的是二进制运算和逻辑代数的区别：二进制运算中的加法、乘法规则讨论的是数值的运算法则，所以有进位问题，1+1=10。而且还可以相减、相除，且加法和减法，乘法和除法互为逆运算。但是，逻辑代数研究的是“0”、“1”两种逻辑状态的逻辑加、逻辑乘、逻辑非，是一种逻辑运算，所以1+1=1。或运算的逻辑符号如图3.1.5所示。图3.1.5 或运算符号 3非运算“非运算”又称“非逻辑”、“反相运算”(Inversion)、“逻辑否定”(Lo
8、gic Negation)。图3.1.6的开关电路是“非逻辑”的一个实例，该电路的状态表如表3.1.5所示。很明显，开关A接通时灯不亮，A断开时灯亮。此例子说明了又一种因果关系：“某事的发生以另一事不发生为条件。”这种逻辑关系称为“非逻辑”。图3.1.6 非逻辑电路举例 表3.1.5 非逻辑实例状态表 非运算的真值表如表3.1.6所示。由真值表得到非运算的逻辑结论是：A=0时F=1,A=1时F=0。非运算的函数表达式为(3.1.5) 式中“-”号表示“非运算”或“逻辑非”，读作“非”。例如，“ ”可读作“A非”或“非A”。非运算的运算规则有：由此推出：非运算的逻辑符号如图3.1.7所示。图3.
9、1.7 非运算符号 (a)(b)1 A1 A F=AF=A表3.1.6 非运算真值表 3.1.4 导出逻辑“与”、“或”、“非”三种基本逻辑运算按不同的方式组合，还可以构成“与非”、“或非”、“与或非”、“同或”、“异或”等逻辑运算，统称为“导出函数”，并构成相应的“复合门”电路。1.与非逻辑(NAND)将“与”和“非”运算组合在一起可以构成“与非运算”，或称“与非逻辑”，如图3.1.8(A)所示。图3.1.8(b)是与非运算的逻辑符号。图3.1.8 与非运算及符号(A)与非运算；(b)与非运算符号与非运算的真值表如表3.1.7所示。由真值表可得到与非运算的逻辑结论是：有0出1，全1出0。与非
10、运算的函数表达式为(3.1.6) (3.1.7) 多变量时 输入、输出端能实现与非运算的电路称为“与非门”。与非门的符号也就是与非运算的符号。2. 或非逻辑(NOR)将“或”和“非”运算组合在一起可以构成“或非运算”，或称“或非逻辑”。或非运算的真值表如表3.1.8所示。由真值表可得到或非运算的逻辑结论是：有1出0，全0出1。或非运算的函数表达式为多变量时 (3.1.8)(3.1.9) 表3.1.8 或非运算真值表 图3.1.9 或非运算符号 3.与或非逻辑将“与”、“或”、“非”三种运算组合在一起可以构成“与或非运算”，或称“与或非逻辑”。(2.2.10)能实现与或非逻辑的电路称为“与或非门
11、”。与或非运算及与或非门的逻辑符号如图3.1.10所示。或图3.1.10 与或非运算符号 表3.1.9 异或运算真值表 4. 异或逻辑(Exclusive OR)“异或运算”或称“异或逻辑”是两个变量的逻辑函数，其逻辑关系是输入不同时，输出为1；输入相同时，输出为0。异或运算的真值表如表3.1.9所示。由真值表可知输出F=1的条件是：或者A=1与B=0(A与B相异)，或者A=0与B=1(A与B相异)，这就是“异或”的逻辑含义。其逻辑结论是：AB时F=1,A=B时F=0。异或运算的函数表达式为(3.1.11) 异或逻辑功能可以通过“异或门”来实现。异或运算及异或门的逻辑符号如图3.1.11所示。
12、异或门可以采用不同的门来组成。例如，图3.1.12是用“与门”和“或门”组成的异或门。这里，图3.1.12中的电路图是用逻辑符号画成的，称为逻辑电路图。 图3.1.11 异或运算符号=1BA F=A B图3.1.12 异或逻辑电路图 F=AB+AB&BA&BA1ABAB当多个变量异或时，可以通过若干个异或门来实现。例如可通过图3.1.13来实现。图3.1.13 多变量异或的实现 5.同或逻辑(Exclusive NOR)“同或运算”或称“同或逻辑”，也是两个变量的逻辑函数，其逻辑关系是输入相同时，输出为1；输入不同时，输出为0。同或运算的真值表如表3.1.10所示。由真值表可知输出F=1的条件
13、是：或者A=1与B=1(A、B相同)，或者A=0 与 B=0 (A、B相同)，这就是“同或”的逻辑含义。其逻辑结论是：A=B时F=1,AB时F=0。同或运算的函数表达式为 式中符号“”表示“同或运算”，读作“同或”。(3.1.12) =A B表3.1.10 同或运算真值表 图3.1.14 同或运算符号 3.1.5 正逻辑与负逻辑在逻辑电路中有两种逻辑体制：用“1”表示高电位，“0”表示低电位的，称为正逻辑体制；用“1”表示低电位，“0”表示高电位的，称为负逻辑体制。对于同一个电路，既可以用正逻辑来表示，也可以用负逻辑来表示。表3.1.11 （同一电路）“与”真值表(正逻辑) “或”真值表(负逻
14、辑) 由此可知，对于同样一个电路，虽然电路的逻辑功能(即输入、输出端的电压关系)是不会改变的，但如果采用的逻辑体制不同，就会得到不同的门电路。比 如，用正逻辑表示时是“与门”的电路，用负逻辑表示时就变成“或门”电路了。换言之，“正与门”和“负或门”等效，写作正与门 负或门同理， 正或门 负与门正与非门 负或非门正或非门 负与非门3.2 逻辑代数的基本定律和基本规则 3.2.1 逻辑函数的相等要证明两个含有相同逻辑变量的函数相等，只要检验它们的真值表是否相同。在列真值表时为了不造成遗漏，可将变量按二进制的递增顺序从全“0”排到全“1”，真值表的行数为2n，其中n为变量数。 例 假设：F(A,B,
15、C)=A(B+C)G(A,B,C)=AB+AC求证：F=G证明：列出F和G的真值表。因为逻辑函数F和G有三个输入变量，取值的可能组合状态有2+3=8个，分别对变量的8种可能取值(000111)按照逻辑函数进行运算，求出相应的函数值，例如，当 A=0,B=0,C=0时，F=0(0+0)=0,为此可列出F和G的真值表如表3.2.1所示。表3.2.1 F和G的真值表 由上表可知：F=G。也即F和G是同一个逻辑函数，而表达式A(B+C)和AB+AC是同一个函数的两个不同表达式。用逻辑元件来实现时，虽然F和G的线路可以不相同，见图3.2.1，但它们所具有的逻辑功能完全相同。图 3.2.13.2.2 逻辑代数的基本定律根据逻辑与、或、非三种基本运算规则，可推导出逻辑运算的一些基本定律，列于表3.2.2中。表中的公式可直接用真值表来证明。 表 3.2.23.2.3 逻辑代数的基本规则为了更好地利用已知公式推出更多的公式，下面介绍逻辑代数中的三个重要规则。1.代入规则在任何一个含变量A的等式中，将其中所有 的A均用逻辑函数F来取代，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。因为任何一个逻辑函数F的取值也只有0和1两种可能，所以代入规则是正确的。利用代入规 则可扩大等式的应用范围。2. 反演规则对逻辑函数F取“非”(即求其反函数 )称为“反演”。反演可以通过“反复”使用摩根定律求得，也可以运用由摩
