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1、第二章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言 2.2 时域离散信号的傅里叶变换 2.3 时域离散信号的Z变换 2.4 利用Z变换对信号和系统进行分析2.1 引言信号、系统分析信号在时间分布上的特性 和运算：直观，物理概念会比 较的清楚。分析信号在频率分布上的特性 和运算：这给了我们换个视角 观察信号的机会，我们会发现 许多在时间域上得不到的特性 和运算。时间域频率域FT、ZTIFT、IZT返回2.2 时域离散信号的傅里叶变换返回p2.2.1 时域离散信号的傅里叶变换的定义p2.2.2 周期信号的离散傅里叶级数p2.2.3 周期信号的傅里叶变换p2.2.4 时域离散信号傅里叶变换的性质2.
2、2.1 时域离散信号的傅里叶变换的定义定义为时域离散信号x(n)的傅里叶变换，简称FT(FourierTransform)。上式成立的条件是序列绝对可和，或者 说序列的能量有限，即满足下面的公式：对于不满足上式的信号，可以引入奇异函数，使之能够 用傅里叶变换表示出来。(2.2.1)回到本节返回离散信号FT和模拟信号FT的比较： 离散信号FT模拟信号FT可以发现二者的实质是一样的，都是完成时间域 频域 的转换，不同处： 时间变量：n取整数，求和运算；t取连续变量，积分运算。 频域变量：是数字频率的连续变量，以2为周期；是模拟频率的连续变量，无周期性。回到本节返回2.2.2 周期信号的离散傅里叶级
3、数设 是以N为周期的周期序列，具有周期性，能 够展成傅里叶级数，即：式中，ak是离散傅里叶级数的系数。 为求系数ak，将上式两边乘以 ，并对n在一 个周期N中求和，得到：(2.2.5)回到本节返回将上式右边的两个求和号交换位置，得到：式中 回到本节返回因此得到上式中,k和n均取整数，当k变化时， 是周期为N 的周期函数，所以ak是以N为周期的周期序列，即ak=ak+ln 令 将式(2.2.7)代入上式，得到这里 是以N为周期的周期序列。一般简称 为 的离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete Frourier Series)表示，即 。(2.2.7)(2.2.10)(2.2.9)回到本节
4、返回由式(2.2.5)和式(2.2.9)，我们能够得到将式(2.2.7)和式(2.2.10)写在一起，成为离散傅里叶 级数对。这里 和 均是周期为N的序列。(2.2.11)返回回到本节2.2.3 周期信号的傅里叶变换复指数序列的傅里叶变换表达式 在模拟系统中， 的傅里叶变换是在 处 的一个冲激，强度为2，即对于时域离散系统中的复指数序列 ，仍假设它的 傅里叶变换是在 处的一个冲激，强度为2，考 虑到时域离散信号傅里叶变换的周期性，因此 的 傅里叶变换应写为：回到本节返回一般周期序列 的傅里叶变换 假设 的周期为N，将它用傅里叶级数来表示，即上式的求和号中的每一项都是复指数序列，其中第K项即为第
5、K次谐波 的傅里叶变换根据 其周期性能够表示为：返回回到本节周期序列 由N次谐波组成，因此它的傅里叶变换可 以表示成式中，k=0,1,2,N-1, r=-3,-2,-1,0,1,2,以N为周期，而r变化时，函数变化2r，因此 如果让k在(-,)变化，上式可以简化为上式就是一般周期序列 的傅里叶变换表达式。教材中表2.2.1 列举了基本序 列的傅里叶变 换对。返回回到本节例2.1： 令 ， 为有理数，求其傅里叶变 换。 解: 将 用欧拉公式展开为由得余弦序列的傅里叶变换为返回回到本节上式表明，余弦信号的傅里叶变换是在 处的冲激函 数，强度为，同时以2为周期进行周期性延拓，如下图所 示。对于正弦序
6、列 ， 为有理数，它的傅里叶变 换为回到本节返回2.2.4 时域离散信号傅里叶变换的性质时域离散信号傅里叶变换有很多重要的性质，其中一些 性质和模拟信号的傅里叶变换性质类似，参考教材中表 2.2.2。本小节重点介绍： 傅里叶变换的周期性 频域卷积定理 傅里叶变换的对称性回到本节返回 傅里叶变换的周期性： 频域卷积定理： 假设 ， ， 则交换积分的求和次序，我们同样能够得到该定理表明在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积 关系。 此定理亦称为 调制定理回到本节返回 傅里叶变换的对称性： 一般不做特殊说明，序列x(n)就是复序列。用下标r表 示它的实部，用下标i表示它的虚部：复序列中有共轭对称序列和
7、轭对称序列，分别用下 标e和o表示共轭对称序列满足复轭对称序列满足回到本节返回 一般序列傅里叶变换的对称性质 一般序列可以表示为其实部 的傅里叶变换可以用下式来表示将上式右面的加负号，在将右边取共轭，右边表达式 不变，这说明实序列的傅里叶变换具有共轭对称性质， 可以用 表示。 很容易证明，将j乘以实数序列 的傅里叶变换具有 共轭反对称性质，用 表示。返回回到本节这样式中这样我们能够得到结论： 一般序列的傅里叶变换分成共轭对称分量和共轭反对称 分量两部分，其中共轭对称分量对应序列的实部，而共 轭反对称分量对应这序列的虚部（包括j）。返回回到本节如果将序列分为共轭对称和共轭反对称两部分，即由 我们
8、得到对上面两式分别求傅里叶变换，得到返回回到本节这样 我们能够得到结论: 傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，而它的虚部(包 括j)对应序列的共轭反对称部分。 值得注意： 在一般实际应用中，我们常常遇到的序列是实序列，实序列 相当于一般的序列中只有实部，没有虚部，因此实序列的傅 里叶变换具有共轭对称性质，它的实部是偶函数，虚部是奇 函数。 如果实序列还是偶对称的，其傅里叶变换应该是实偶对称函 数；如果实序列是奇对称的，那么其傅里叶变换是虚对称 的，且是纯虚函数。返回回到本节2.3 时域离散信号的Z变换在模拟系统中，用傅里叶变换进行频域分析，而拉普拉 斯变换是傅里叶变换的推广，用于对信号在复
9、频域的分 析。在数字域中，用序列傅里叶变换进行频域分析，Z 变换是其推广，用于对信号在复频域中的分析。本节主要讲述:返回p 2.3.1 时域离散信号的Z变换的定义及其与傅里叶变换的关系p 2.3.2 Z变换的收敛域与序列特性之间的关系p 2.3.3 逆Z变换p 2.3.4 Z变换的性质和定理2.3.1 时域离散信号的Z变换的定义及其与 傅里叶变换的关系 Z变换的定义 定义序列X(n)的Z变换为式中，Z是复变量，它所在的复平面称为Z平面。这里求 和极限为-+，故亦称为双边Z变换，当求和极限 为0+时，为单边Z变换，不做说明时均为双边Z 变换。 Z变换存在的充分条件为返回回到本节Z变换的收敛域为使
10、Z变换存在的 的取值域，称为X(z)的收敛域。收敛 域一般用环状域表示，即Rx-0）。(2.4.22)(2.4.23)幅频特性：相频特性：回到本节返回当频率由0变化到2时，这些零、极点矢量的终点B沿 单位圆旋转一周，零、极点矢量的长度和相角不断变 化，按照式(2.4.22)和式(2.4.23)可以计算出幅频特性 和相频特性。但工程中用的最多的是，利用式(2.4.22) 定性分析估计幅频特性。回到本节返回零极点分布对幅频特性的影响 极点影响幅频特性的峰值，峰值频率在极点的附近； 极点越靠近单位圆，峰值越高，越尖锐； 极点在单位圆上，峰值幅度为无穷，系统不稳定。 零点影响幅频特性的谷值，谷值频率在零点的附近； 零点越靠近单位圆，谷值越接近零； 零点在单位圆上，谷值为零； 处于坐标原点的零极点不影响幅频特性。该方法适于 低阶系统回到本节返回
