上海大学物理二第五章

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1、第第 五五 章章 刚体的定轴转动质量连续分布的且任意两质量 元之间距离保持不变的质点系刚体：形状和大小不变的物体5- 1 5- 1 刚体转动的描述刚体转动的描述一、刚体的基本运动平动： 刚体在运动过程中，其上任意两点 的连线始终保持平行。可以用质点力学的 方法来处理刚体的 平动问题。注：一般运动=平动 (质心的运动)+绕质心的转动转动：转动： 刚体上所有质点都绕同一直线作圆 周运动。这种运动称为刚体的转动。这 条直线称为转轴。定轴转动：定轴转动：转轴固定不动的转动。二、描述刚体定轴转动的物理量角速度的大小：由右手螺旋法则确定。角速度 的方向：角速度的矢量性角速度的矢量性角加速度:匀 加 速 转

2、 动例题1 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀 地减速，经t=50 s后静止。 （1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；（2）求制动开始后t=25s 时飞轮的角速度 ； （3）设飞轮的半径r=1m，求在t=25s 时边缘上一点的速度和加速度。0vanatarO解 （1）设初角度为0方向如图所示，量值为0 =21500/60=50 rad/s, 在t =50S 时刻 =0从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数N 分别为（2）t =25s 时飞轮的角速度为的方向与0相同 ；的方向几乎和 相同。（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度和加速度。0vanatarO例

3、题2 一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。解：飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为角加速度是角速度对t的导数，因此得由此可见飞轮作的是变加速转动。应用牛顿第二定律，可得：O对刚体中任一质量元-外力-内力采用自然坐标系，上式切向分量式为：O5-2 5-2 转动定律转动定律用 乘以上式左右两端：设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述 类似方程，将N 个方程左右相加，得：根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：得到：上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以

4、M 表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为 刚体转动惯量，以J 表示。于是得到刚体定轴刚体定轴 转动定律转动定律（2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正；惯性大小的量度；转动惯量是转动（1） M 一定，J讨论：按转动惯量的定义有5.3 5.3 转动惯量转动惯量比较： 平动定律 转动定律 转动惯量是转动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。质元的质量质元到转轴的距离质量连续分布的刚体，写成积分形式例5.2 求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解:J是可加的，所以若为薄圆筒 （不计厚度）结果相同。RRO例题5.3 求圆盘对于通过中心并

5、与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。rRdr解：设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的质量dm= 2rdr 。可得例题5.4 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2）转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。解:(1)建立坐标系，分割质量元hJ 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关(2)建立坐标系，分割质量元（3）建立坐标系，分割质量元讨论：影响刚体转动惯量的因素3）刚体转轴的位置:1）刚体的质量：2）刚体的质量分布：形状

6、、大小相同的均匀刚体，总质量越大， 转动惯量越大。总质量相同的刚体，质量分布离轴越远， 转动惯量越大 圆环J=mR2,圆盘J=1/2mR2同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布 就不同，因而转动惯量也就不同。ABL/2L/2CX平行轴定理平行轴定理刚体绕平行于质心轴的转动 惯量 J，等于绕质心轴的转动 惯量 JC 加上刚体质量与两轴 间的距离平方的乘积：刚体绕质心轴的转动惯量最小如：mCA圆环圆盘球体圆柱细杆R R例1.计算钟摆的转动惯量.（已知摆锤质量为m，半径为r ，摆杆质量也为m，长度为2r）ro解：摆杆转动惯量：摆锤转动惯量：钟摆转动惯量：组合定理：例1:质量为M=16kg的实心滑轮，半径

7、为R=0.15m。一根细 绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求静止开始1 秒钟后物体下降的距离及绳子的张力。解：mMmmgT5-4 5-4 转动定律的应用转动定律的应用m1m2MT1T2m2gRmMm1m2RT1T2m1gm2gm2 m1例:mm1m2R1T1T2m1gm2gM1R2M2m2 m1m1 m2m2gm1gTT1 T2R1M1R2M2例2：一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的 水平面上。若它的初角速度为o，绕中心o旋转，问 经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）oRdrr解：P167：例题5.5 ，5.6，5.75-5 5-5 角动量守恒角动量守恒 一. 刚体的角动量刚

8、体上的任一质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：质点对点的角动量为：所以刚体绕此轴的角动量为：二、 刚体的角动量守恒定律角动量守恒定律：若一个系统一段时间内所 受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角动量L 为一恒量。恒量b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系统的角动量依然守恒。J 大 小,J 小 大。讨论：a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变，当合外力矩为零时，其角速度恒定。=恒量=恒量LABABCC常平架上 的回转仪xR OMm例5.9 一个质量为M, 半径为R的水平均匀圆盘可绕通过中 心的光滑竖直轴自由转动。在 盘缘上站着一个质量为m 的人，二者 最初都相对地面静止。当人在盘上

9、沿 盘边走一周时，盘对地面转过的角度 多大？ 解:角动量守恒.初态系统角动量为零 设人对盘的角速度为1盘对地的角速度为2例5.10 图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为J= 210 3kgm2 ，它以=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋转。 宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。每个喷 管的位置与轴线距离都是r =1.5m。两喷管的喷气流量恒 定，共是 =2kg/s. 废气的喷射速率（相对 于飞船周边）u=50m/s， 并且恒定. 问喷管应喷 射多长时间才能使飞船 停止旋转。rdm/2dm/2u- uL0Lg解: 把飞船和排出的废气看作一个系统，在整个喷射过 程中，系统所受的对于飞船中心轴

10、的外力矩为零，所以 系统对于此轴的角动量守恒，即L0=L1 在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体，这些 气体对中心轴的角动量为dm r(u+v)，方向与飞船的角动 量相同。因u=50m/s远大于飞船的速率v(= r) ，所以此角 动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程中喷出废气的 总的角动量Lg应为当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时的 总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即为由角动量守恒:即于是所需的时间为:例例1 1、质量为M，长为2l的均质细棒，在竖直平面内可 饶中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的 小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为完全弹性碰 撞。求碰

11、后小球的回跳速度v以及棒的角速度。ou解：解：由系统角动量守恒机械能守恒例2.如图所示, 一质量为m 的 子弹以水平速度射入一静止悬 于顶端长棒的下端, 穿出后速 度损失3/4,求子弹穿出后棒的 角速度。已知棒长为l, 质量 为M.v0vmM解: 子弹和棒的总角动量守恒问:子弹和棒的总动量守恒吗? 为什么?例3 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别 为：A=50rad.s-1, B=200rad.s-1。已知A 圆盘半径 RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m, 质量 mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度 . 解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过 程中有重

12、力、轴对圆盘支持力及轴向 正压力，但他们均不产生力矩；圆盘 间切向摩擦力属于内力。因此系统角 动量守恒，得到P171：例题5.85.6 转动中的功和能 一、转动动能动能：miz转动惯量：转动动能：二、力矩的功和功率力矩的功：力矩功率：常力矩：力的功等于力矩的功00 力的功恒力矩的功:三、刚体定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理：合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所作 的功等于刚体转动动能的增量。四、刚体的重力势能一个不太大的刚体的重力势能相当于质量集 中于质心时的重力势能五、刚体定轴转动的功能原理功能原理、机械能守恒定律 等都适用于含有刚体的系统 。直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动刚体的

13、定轴转动P174：例题5.11解：据机械能守恒定律：例5.12 一个质量为、半径为的 定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细 绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一 端挂一质量为的物体而下垂。忽略 轴处摩擦，求物体由静止下落高度 时的速度和此时滑轮的角速度。 mgXOmgC例5.13 最初棒静止在水平位置, 求它由此下摆角时 质心的角速度和速度。解：力矩的功机械能守 恒定律例1、如图所示，一根长l，质量为m的均匀杆静止在一光 滑水平面上。杆的中点有一竖直光滑固定轴。一个质量为 m的小球以水平速度 v0 垂直于棒冲击其一端并粘上。求 碰撞后球的速度 v 和棒的角速度 以及由此产碰撞而损失的机械能。 解：以棒

14、和球为系统, 碰撞过程中 外力矩为零，角动量守恒。 初态：末态：O由碰撞而损失的机械能为(势能不变)：初态机械能：机械能的损失为：末态机械能：例2、一质量为m，长为l的均质细杆，转轴在o点，距 A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动， 求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直 位置时的角速度和角加速度。解：c oBA（1）mg（2）coBAmg（3）*垂直位置时轴的支持力F=?例3 一长为l 、质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴O 在铅直 面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子弹水平射入与 轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到=300， 求子弹的初速v0。解：(1) 角动量守恒:(2) 机械能守恒:势能零点例4、一质量为M，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂 有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为 多大？求下落过程中物体的加速度？mMm解：解得：TmgM、m 、绳、地球系统机械能守恒：系统角动量为：例例5 5、均质细杆长2l，以垂直于杆的速度v在瞬时与支 点A碰撞。求：（1）碰撞后杆的角速度。（2）碰撞 后机械能损失多少？vl/22lA作业: 习题（P35）2，6，8，911，12，15，19，20