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1、第第 五五 章章 刚体的定轴转动质量连续分布的且任意两质量 元之间距离保持不变的质点系刚体:形状和大小不变的物体5- 1 5- 1 刚体转动的描述刚体转动的描述一、刚体的基本运动平动: 刚体在运动过程中,其上任意两点 的连线始终保持平行。可以用质点力学的 方法来处理刚体的 平动问题。注:一般运动=平动 (质心的运动)+绕质心的转动转动:转动: 刚体上所有质点都绕同一直线作圆 周运动。这种运动称为刚体的转动。这 条直线称为转轴。定轴转动:定轴转动:转轴固定不动的转动。二、描述刚体定轴转动的物理量角速度的大小:由右手螺旋法则确定。角速度 的方向:角速度的矢量性角速度的矢量性角加速度:匀 加 速 转
2、 动例题1 一飞轮转速n=1500r/min,受到制动后均匀 地减速,经t=50 s后静止。 (1)求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N;(2)求制动开始后t=25s 时飞轮的角速度 ; (3)设飞轮的半径r=1m,求在t=25s 时边缘上一点的速度和加速度。0vanatarO解 (1)设初角度为0方向如图所示,量值为0 =21500/60=50 rad/s, 在t =50S 时刻 =0从开始制动到静止,飞轮的角位移 及转数N 分别为(2)t =25s 时飞轮的角速度为的方向与0相同 ;的方向几乎和 相同。(3)t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度和加速度。0vanatarO例
3、题2 一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。解:飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4将此式对t求导数,即得飞轮角速度的表达式为角加速度是角速度对t的导数,因此得由此可见飞轮作的是变加速转动。应用牛顿第二定律,可得:O对刚体中任一质量元-外力-内力采用自然坐标系,上式切向分量式为:O5-2 5-2 转动定律转动定律用 乘以上式左右两端:设刚体由N 个点构成,对每个质点可写出上述 类似方程,将N 个方程左右相加,得:根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零),得:得到:上式左端为刚体所受外力的合外力矩,以
4、M 表示;右端求和符号内的量与转动状态无关,称为 刚体转动惯量,以J 表示。于是得到刚体定轴刚体定轴 转动定律转动定律(2)M 的符号:使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正;惯性大小的量度;转动惯量是转动(1) M 一定,J讨论:按转动惯量的定义有5.3 5.3 转动惯量转动惯量比较: 平动定律 转动定律 转动惯量是转动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。质元的质量质元到转轴的距离质量连续分布的刚体,写成积分形式例5.2 求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解:J是可加的,所以若为薄圆筒 (不计厚度)结果相同。RRO例题5.3 求圆盘对于通过中心并
5、与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为R,质量为m,密度均匀。rRdr解:设圆盘的质量面密度为,在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环(如图),环的面积为2rdr,环的质量dm= 2rdr 。可得例题5.4 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量:(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直;(2)转轴通过棒的一端并和棒垂直;(3)转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。解:(1)建立坐标系,分割质量元hJ 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关(2)建立坐标系,分割质量元(3)建立坐标系,分割质量元讨论:影响刚体转动惯量的因素3)刚体转轴的位置:1)刚体的质量:2)刚体的质量分布:形状
6、、大小相同的均匀刚体,总质量越大, 转动惯量越大。总质量相同的刚体,质量分布离轴越远, 转动惯量越大 圆环J=mR2,圆盘J=1/2mR2同一刚体,转轴不同,质量对轴的分布 就不同,因而转动惯量也就不同。ABL/2L/2CX平行轴定理平行轴定理刚体绕平行于质心轴的转动 惯量 J,等于绕质心轴的转动 惯量 JC 加上刚体质量与两轴 间的距离平方的乘积:刚体绕质心轴的转动惯量最小如:mCA圆环圆盘球体圆柱细杆R R例1.计算钟摆的转动惯量.(已知摆锤质量为m,半径为r ,摆杆质量也为m,长度为2r)ro解:摆杆转动惯量:摆锤转动惯量:钟摆转动惯量:组合定理:例1:质量为M=16kg的实心滑轮,半径
7、为R=0.15m。一根细 绳绕在滑轮上,一端挂一质量为m的物体。求静止开始1 秒钟后物体下降的距离及绳子的张力。解:mMmmgT5-4 5-4 转动定律的应用转动定律的应用m1m2MT1T2m2gRmMm1m2RT1T2m1gm2gm2 m1例:mm1m2R1T1T2m1gm2gM1R2M2m2 m1m1 m2m2gm1gTT1 T2R1M1R2M2例2:一半径为R,质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的 水平面上。若它的初角速度为o,绕中心o旋转,问 经过多长时间圆盘才停止。(设摩擦系数为)oRdrr解:P167:例题5.5 ,5.6,5.75-5 5-5 角动量守恒角动量守恒 一. 刚体的角动量刚
8、体上的任一质元,绕固定轴做圆周运动角动量为:质点对点的角动量为:所以刚体绕此轴的角动量为:二、 刚体的角动量守恒定律角动量守恒定律:若一个系统一段时间内所 受合外力矩M 恒为零,则此系统的总角动量L 为一恒量。恒量b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系统的角动量依然守恒。J 大 小,J 小 大。讨论:a.对于绕固定转轴转动的刚体,因J 保持不变,当合外力矩为零时,其角速度恒定。=恒量=恒量LABABCC常平架上 的回转仪xR OMm例5.9 一个质量为M, 半径为R的水平均匀圆盘可绕通过中 心的光滑竖直轴自由转动。在 盘缘上站着一个质量为m 的人,二者 最初都相对地面静止。当人在盘上
9、沿 盘边走一周时,盘对地面转过的角度 多大? 解:角动量守恒.初态系统角动量为零 设人对盘的角速度为1盘对地的角速度为2例5.10 图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为J= 210 3kgm2 ,它以=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋转。 宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。每个喷 管的位置与轴线距离都是r =1.5m。两喷管的喷气流量恒 定,共是 =2kg/s. 废气的喷射速率(相对 于飞船周边)u=50m/s, 并且恒定. 问喷管应喷 射多长时间才能使飞船 停止旋转。rdm/2dm/2u- uL0Lg解: 把飞船和排出的废气看作一个系统,在整个喷射过 程中,系统所受的对于飞船中心轴
10、的外力矩为零,所以 系统对于此轴的角动量守恒,即L0=L1 在喷气过程中,以dm表示dt时间内喷出的气体,这些 气体对中心轴的角动量为dm r(u+v),方向与飞船的角动 量相同。因u=50m/s远大于飞船的速率v(= r) ,所以此角 动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程中喷出废气的 总的角动量Lg应为当宇宙飞船停止旋转时,其角动量为零。系统这时的 总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量,即为由角动量守恒:即于是所需的时间为:例例1 1、质量为M,长为2l的均质细棒,在竖直平面内可 饶中心轴转动。开始棒处于水平位置,一质量为m的 小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为完全弹性碰 撞。求碰
11、后小球的回跳速度v以及棒的角速度。ou解:解:由系统角动量守恒机械能守恒例2.如图所示, 一质量为m 的 子弹以水平速度射入一静止悬 于顶端长棒的下端, 穿出后速 度损失3/4,求子弹穿出后棒的 角速度。已知棒长为l, 质量 为M.v0vmM解: 子弹和棒的总角动量守恒问:子弹和棒的总动量守恒吗? 为什么?例3 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动,角速度分别 为:A=50rad.s-1, B=200rad.s-1。已知A 圆盘半径 RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m, 质量 mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度 . 解:以两圆盘为系统,尽管在衔接过 程中有重
12、力、轴对圆盘支持力及轴向 正压力,但他们均不产生力矩;圆盘 间切向摩擦力属于内力。因此系统角 动量守恒,得到P171:例题5.85.6 转动中的功和能 一、转动动能动能:miz转动惯量:转动动能:二、力矩的功和功率力矩的功:力矩功率:常力矩:力的功等于力矩的功00 力的功恒力矩的功:三、刚体定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理:合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所作 的功等于刚体转动动能的增量。四、刚体的重力势能一个不太大的刚体的重力势能相当于质量集 中于质心时的重力势能五、刚体定轴转动的功能原理功能原理、机械能守恒定律 等都适用于含有刚体的系统 。直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动刚体的
13、定轴转动P174:例题5.11解:据机械能守恒定律:例5.12 一个质量为、半径为的 定滑轮(当作均匀圆盘)上面绕有细 绳,绳的一端固定在滑轮边上,另一 端挂一质量为的物体而下垂。忽略 轴处摩擦,求物体由静止下落高度 时的速度和此时滑轮的角速度。 mgXOmgC例5.13 最初棒静止在水平位置, 求它由此下摆角时 质心的角速度和速度。解:力矩的功机械能守 恒定律例1、如图所示,一根长l,质量为m的均匀杆静止在一光 滑水平面上。杆的中点有一竖直光滑固定轴。一个质量为 m的小球以水平速度 v0 垂直于棒冲击其一端并粘上。求 碰撞后球的速度 v 和棒的角速度 以及由此产碰撞而损失的机械能。 解:以棒
14、和球为系统, 碰撞过程中 外力矩为零,角动量守恒。 初态:末态:O由碰撞而损失的机械能为(势能不变):初态机械能:机械能的损失为:末态机械能:例2、一质量为m,长为l的均质细杆,转轴在o点,距 A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动, 求:(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直 位置时的角速度和角加速度。解:c oBA(1)mg(2)coBAmg(3)*垂直位置时轴的支持力F=?例3 一长为l 、质量为m 的匀质细杆,可绕光滑轴O 在铅直 面内摆动。当杆静止时,一颗质量为m0 的子弹水平射入与 轴相距为a 处的杆内,并留在杆中,使杆能偏转到=300, 求子弹的初速v0。解:(1) 角动量守恒:(2) 机械能守恒:势能零点例4、一质量为M,半径R的圆盘,盘上绕由细绳,一端挂 有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时,其速度为 多大?求下落过程中物体的加速度?mMm解:解得:TmgM、m 、绳、地球系统机械能守恒:系统角动量为:例例5 5、均质细杆长2l,以垂直于杆的速度v在瞬时与支 点A碰撞。求:(1)碰撞后杆的角速度。(2)碰撞 后机械能损失多少?vl/22lA作业: 习题(P35)2,6,8,911,12,15,19,20