孤立子及其应用1

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1、孤立子及其应用 Solitons and their Applications广州大学数学与信息 科学学院 尚 亚 东一、 孤立波的发现历史 1834年8月，英国科学家、造船工程师John Scott Russell 在运河河道上看到了由两匹 骏马拉着的一只迅速前进的船突然停止时 ，被船所推动的一大团水却不停止，它积 聚在船头周围激烈地扰动，然后形成一个 滚圆、光滑而又轮廓分明的大水包，高度 约为0.30.5米，长约10米，以每小时约 13公里的速度沿着河面向前滚动。 罗素骑马沿运河跟踪这个水包时发现，它 的大小、形状和速度变化很慢，直到34 公里后，才在河道上渐渐地消失。罗素马 上意识到，他

2、所发现的这个水包决不是普 通的水波。 普通水波由水面的振动形成，振动沿水平 面上下进行，水波的一半高于水面，另一 半低于水面，并且由于能量的衰减会很快 消失。他所看到的这个水包却完全在水面 上，能量的衰减也非常缓慢(若水无阻力， 则不会衰减并消失)。并且由于它具有圆润 、光滑的波形，所以它也不是激波。 罗素将他发现的这种奇特的波包称为孤立 波，并在其后半生专门从事孤立波的研究 。他用大水槽模拟运河，并模拟当时情形 给水以适当的推动，再现了他所发现的孤 立波。罗素认为孤立波应是流体力学的一 个解，并试图找到这种解，但没有成功。 十年后，1844年9月Russell在向英国科学 促进会第14次会议

3、提交的论文论波动 （Report on Waves)中报告了自己的观点 。Russell的结论包括以下几点： 1. 他在长、浅水这种固定形式下观察了孤 立波。由此他推出孤立波的存在，这是他 得出的意义最为重大的结果。在一致长度 为h的河道中，孤立波的传播速度v由 给出，其中是波的振幅，g为重力加速度。 但Russell却没能说服他的同事们，在他的有 生之年（1882年死去），无法从理论上对他 观察到的孤立波现象给出圆满解释。罗素所 发现的孤立波现象也未能引起人们的注意。 在罗素逝世100周年即1982年,人们在罗素发 现孤立波的运河河边树起了一座罗素像纪念 碑，以纪念148年前他的这一不寻常的

4、发现。 Russell当时发现孤立波的河流，是流经在 苏格兰、爱丁堡Heriot-Watt大学校园附近 的 Union Canal 。为纪念Russell这一重要 的科学发现，他当年发现孤立波的地方， 已被列为历史名胜受到保护。英国 Heriot- Watt 大学在1982年曾举办了纪念Russell逝 世100周年学术讨论会，来自世界各地拾几 个学科的科学家聚集一堂，热烈地交谈和 讨论有关孤立波和孤立子的学术问题。 当时的波动研究专家Airy爵士, Stokes爵士 对他的观点提出了怀疑，Boussinesq和 Rayleigh进行了进一步地研究试图去理解这 种现象。后二人各自分别假设孤立波

5、的速 度远大于水深。为了近似地描述孤立波， Boussinesq提出了一个一维非线性演化方 程，即后来人们命名的Boussinesq方程。 它的解是双曲正割的平方.此外, 他还引入守 恒密度，非线性与色散之间的平衡等。 从Russell观察到浅水孤立波到形成关于这 种现象的理论之间过了60年。1895年瑞典 阿姆斯特丹大学数学教授D J Korteweg指 导他的学生De Vries在后者的博士论文中提 出了流体中单向波传播的数学模型，即后 来著名的KdV方程，其运动方程是 作适当的自变量和未知函数的线性变换， 可得标准的KdV方程 这里为相对于静止水平面的波峰高度，l 是静水深度，g是重力加

6、速度，均为与 水的密度、表面张力有关的物理常数。他 们对 孤立波现象做了较为 完整的分析，并 从方程求出了行波解，它属于周期性椭圆 函数，所以称为椭圆 余弦波，在波长趋 于 无限情形，它描述Russell所发现 的孤波的 运动，而且波形是sech平方函数。 KdV方程的孤立波解 可以看出孤立波具任意常数波速，传播过 程中波形不变，振幅为 ，振幅与波速成正比，波速越快，波峰愈高，波形愈窄， 或者说，大波总是比小波的速度快。 这一结果回答了Airy和Stokes的反对意见， 得到的孤立波解的形式也与Boussinesq 方 程的双曲正割平方解一致。从而在理论上 证明了孤立波的存在性。然而，这种波是

7、 否稳定，两个波碰撞后是否产生变形？这 些问题长期得不到解答，以至于有些人怀 疑，既然方程是非线性偏微分方程，解的 迭加原理不再成立，碰撞后解的形状很可 能破坏，这种波是不稳定的，研究它没什 么物理意义。 在这种观点的束缚下，KdV方程和孤立波长 期受到埋没，似乎无人理睬。 另外一个问题是，象Russell描述的这种孤 立波是否在流体力学以外的其他物理领域 也存在呢？ 从19世纪末到20世纪中，关于孤立波的研 究工作处在寂静时期，没有明显的进展。 尽管在非线性电磁学、固体物理、流体动 力学、神经动力学等学科中，相继提出了 一些与孤立波有关的问题，但当时有关孤 立波的已有的知识，在新问题面前显得

8、很 不够用，且这些问题与应用数学之间相互 促进的关系，也没有得到足够的重视。人 们似乎已忘记了Russell发现孤立波的重要 意义。 “ 有时真理可能黯淡无光，但是任何时候也 不会熄灭。” 孤立波的长期埋没沉寂，并不 意味着它已折戟沉沙。二、孤立子的发现 本世纪五十年代，一个计算机数值实验开 始改变孤立波的命运。美国的三位物理学 家Enrico Fermi 、John Pasta和Stan Ulam 于1952年开始，利用当时美国用来设计氢 弹的Maniac 号计算机，对由64个谐振子 组成的、振子间存在微弱非线性相互作用 的系统进行了数值计算实验，企图证实统 计物理学中的“能量均分定理”。

9、初始时刻这些谐振子的所有能量都集中在 某一振子上，其它63个振子的初始能量为 零。按照能量均分定理，只要非线性效应 存在，就会有能量均分、各态历经等现象 出现，即任何微弱的非线性相互作用都可 导致由非平衡态向平衡态的过渡。但是， 1955年的计算结果却使他们大吃一惊，因 为经过几万次计算的长时间演化后，能量 并没有均分到其它振子上去，而是出现了 奇怪的“复归”现象： 绝大部分能量又集中到原先那个初始能量 不为零的谐振子上。经典的能量均分定理 竟然没有得到证实。这就是著名的FPU问 题，它与催生爱因斯坦相对论的迈克尔逊 莫雷（Michelson-Morley）实验一样，被 认为是对传统科学的有力

10、挑战。 令人遗憾的是，Fermi等人当时只在频率空 间考察这个实验，未能发现孤立波解，没 有得到正确的解释，就这样与孤立子理论 失之交臂。后来人们把晶体看成是具有质 量的弹簧联接的链条，并近似模拟这种情 况，Toda研究了这种模式的非线性振动， 果然得到了孤立波解，使FPU问题得到了 正确解答。 FPU问题的出现和解决，依赖于刚诞生不 久的电子计算机技术，它第一次通过数值 计算的手段向人们证实了孤立波的存在， 从而进一步激起了人们对孤立波研究的兴 趣。1962年，Perring和Skyrme将Sine- Gordan方程用于基本粒子的研究，他们的 计算结果表明，这样的孤立波并不散开， 即使两个

11、孤立波碰撞后也仍保持原有的形 状和速度。 1965年，美国普林斯顿（Princeton）大学 的两位数学家M. D. Kruskal和N. Zabusky基 于FPU问题，将实验中能量分布几乎回归的 性质与孤立波奇特的相互作用性质联系起来 ， 用数值模拟方法详细地研究了等离子体中 的孤立波碰撞的非线性相互作用过程，得到 了比较完整和丰富的结果，进一步证实了孤 立波在碰撞后其波形和速度保持不变的性质 ，这一结果彻底解除了人们此前对孤立波稳 定性的怀疑。 对于两个KdV孤立波的碰撞，可以看到三个 特点： 1.孤立波在碰撞前后保持高度不变，像是“透 明地”穿过对方；2. 碰撞时两个孤立波重叠 在一起

12、，其高度低于碰撞前孤立波高度较 高的一个（这表明在非线性过程中，不存 在线性叠加原理）；3. 碰撞后孤立波的轨 道与碰撞前有些偏离（即发生了相移）。他们在数值实验中，既研究了两个孤立波的 碰撞，也研究了四个孤立波 的碰撞， 并首次 引入“孤立子”（Soliton）这一术语，用来 描 述这种具有粒子性质的孤立波。 Kruskal和 Zabusky根据孤立波具有类似于粒子碰撞后不变 的性质，正式命名为 “孤立子（soliton）”。这是 孤立波走出科学冷宫的重要里程碑。 之后，在固体物理、非线性电磁学和神经 动力学等学科里也发现了与孤立波有关的 问题，促使人们考虑在流体以外的领域， 孤立波是否存在

13、？若存在的话，其表示孤 立波演化的微分方程应如何求解？这些问 题引起了人们的关注。 目前在不同的著作中，孤立波和孤立子两 者含意的区别，并不完全一致。多数作者 称波形分布在有限的空间范围内，且具有 弹性碰撞性质，即碰撞后保持原有的速度 和波形的孤立波为孤立子。而对呈非弹性 碰撞的一类，仍称为孤立波。还有的作者 称KdV方程和其他类似的方程的单孤立波解 为孤立波，多孤立波解为孤立子。 孤立子概念的提出，开启了孤立子理论研 究的新时代，各个领域的科学家们陆续对 孤立子投入了巨大的热情和兴趣，迄今为 止，已逐步形成了较为完整、系统的孤立 子理论。 今天，对于孤立子的定义，数学家们理解 为非线性发展方

14、程局部化的行波解，经过 相互碰撞后，不改变波形和速度，但相位 有可能改变。物理学家理解为非线性发展 方程能量有限的解，即能量集中在空间的 有限区域，并不随时间的增加而扩散到无 限区域中。 当然，也有作者认为，孤立波与孤立子两 词沿用至今，已无严格的区别。现在物理 学界，亦有人将孤立子简称为“孤子”。 从事 孤立子理论研究的数学家们，多数采用以 是否弹性碰撞来区分的意见。但物理学家 ，对孤立子的定义要宽松些，认为只要波 的能量有限，且分布在有限的空间或时间 范围内，即使在传播过程中波形发生变化 （例如光纤中的高阶光孤立子），也都称 为孤立子。 现在,一般称非线性发展方程的局域化行波 解为孤立波.

15、这里的局部化是指行波解 由 时的一个渐近态到 的另一个 渐近态之间的过渡,本质上是在 变化的 某个局部范围内完成的. 孤立波的类型有三 种: 钟状孤立波(bell-shape solitary wave) 环状孤立波(loop solitary wave) 扭状孤立波(kink-shape solitary wave) 如果一个发展方程的孤立波,在与其它孤立 波相互作用后,仍保持其波形和波速不变,仅 有相位发生变化,则称这种孤立波为孤立子. 孤立子的形状有多种多样: 除钟状孤立子,环 状孤立子,扭状孤立子,还有包络孤立子,反孤 立子,哨孤立子,呼吸孤立子等等. 孤立子理论的初期研究主要集中在数

16、学问 题上。1967年，Gardner等发现了求解KdV 方程的逆散射方法（IST）。随后，人们发 现了至少数十种除KdV方程外具有孤立子解 的非线性方程，而且发展了丰富多彩、行 之有效的数学物理方法。随着研究的深入 ，科学家们开始不满足从纯数学的形式来 研究孤立子，企图在流体力学以外的领域 寻找其它类型的孤立子。 结果令人大为振奋，人们在不同的自然科 学领域都发现了孤立子的存在。例如，科 学家们发现，在生物大分子的蛋白质和 DNA中存在各种类型的孤立子，这些孤立 子担负着生命活动中不可缺少的重任：传 递生物能量和生物信息，完成复制、遗传 与转录功能等。到目前为止，可以说孤立 子现象无所不在： ：宇宙涡旋星系的密度波、海上冲击波、 等离子体、分子系统、生物系统、光纤中 光的传输、激光的传播、超导Josephson结 、磁学、结构相变、液晶，都能找到孤 立子神奇的身影。孤立