《线性规划及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性规划及其应用（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、广东北江中学高二数学补充讲义线性规划第 1 页 共 10 页教师版平面区域与线性规划教师版平面区域与线性规划【一】 基本内容(一)二元一次不等式表示的区域对于直线(A0)0CByAx当 B0 时, 表示直线上方区域; 表示直线0CByAx0CByAx0CByAx的下方区域.0cByAx当 B0 时, 表示直线下方区域; 表示直线0CByAx0CByAx0CByAx的上方区域.0cByAx（二）线性规划 (1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式， 所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们 把它称
2、为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示. (2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 例如：我们研究的就是求线性目标函数z=Ax+By在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线 性规划问题. (3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（）和（）分别使目标11, yx22, yx函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性
3、目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行 (4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2.设z=0，画出直线l0. 3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5) 线性规划的两类重要实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数. 然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得
4、最优解.【二】 例题解析 题 1：选择题1.不等式组表示的平面区域是( )10 2250xy xy 广东北江中学高二数学补充讲义线性规划第 2 页 共 10 页2已知 x、y 满足约束条件，则(x+2)2+y2的最小值为 D 100yxyxAB2C8D552013.,0().122011 111. 1, ., .,).,1)32 322yyx yxywxxyABCD实数满足不等式则的取值范围是D4不等式组围成的区域中，整数点的个数有（ ） A 0, 3, 02xyyxA6B7C8D95设二元一次不等式组所表示的平面区域为 M，使函数 yax(a0，a1)的图象 0142, 080192yxyx
5、yx，过区域 M 的 a 的取值范围是（A）1,3 (B)2, (C)2,9 (D),91010【解析解析】本题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域 M， 显然，只需要研究过1a 、两种情形。且即(1,9)(3,8)19a 38a 29.a答案：C161412108642y=f(x)3,82,101,9广东北江中学高二数学补充讲义线性规划第 3 页 共 10 页题 2.选择填空题1已知动点所在的区域是如图所示的阴影部分（包括边界） ，则目标函数的最小值),(yxyxz2和最大值分别为（ C ）A.2，12 B.2,4 C.1,12 D.1,492 已知 x、y 满足约束条件的最小值为
6、（ C）yxz xyxyx 3, 102012 则A7 B C5 D5353.若,则的取值范围是 .2,6 222yxyx yxz24平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于 2，10 10 10xy x axy 则的值为a A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 【答案答案】：D 【解析解析】如图可得黄色即为满足的直线010101yaxyxx的可行域，而与恒过 （0，1） ，故看作直线绕点（0，1）旋转，当 a=-5 时，则可行域不是一 个封闭区域，当 a=1 时，面积是 1；a=2 时，面积是；当 a=3 时，面23积恰好为 2，故选 D. 5. 已知，求：（1
7、）的最小值;（2）的范围2040250xyxyxy 221025zxyy21 1yzx广东北江中学高二数学补充讲义线性规划第 4 页 共 10 页【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解【解析解析】作出可行域，并求出顶点的坐标、(1,3)A(3,1)B(7,9)C（1）表示可行域内任一点到定点的距离的平方，过 M 作直线 AC22(5)zxy( , )x y(0,5)M的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故的最小值是z9 2MN （2）表示可行域内任一点到定点连线斜率的两倍；1()22( 1)y zx ( , )x y1( 1,)2Q 因为，故的取值范围为7 4QAk3 8QBkz3 7
8、 , 4 2题 3:某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份是由金融投资 70 万元，房地产投资 90 万元， 电脑投资 75 万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资 40 万元，房地产投资 90 万元，电脑投资 150 万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利 25 万元，每份进取型投资每年可获利 30 万元。 若可作投资用的资金中，金融投资不超过 290 万元，房地产投资不超过 450 万元，电脑投资不超过 600 万元，那么这两种组合投资应各注入多少份，能使一年获利总额最大？最大值是多少？题 4.已知有三个居民小区 A、B、C 构成ABC，AB700、BC 800、AC300现
9、计划在mmm 与 A、B、C 三个小区距离相等处建造一个工厂，为不影响小区居民的正常生活和休息，需在厂房的四 周安装隔音窗或建造隔音墙据测算，从厂房发出的噪音是 85 分贝，而维持居民正常生活和休息时 的噪音不得超过 50 分贝每安装一道隔音窗噪音降低 3 分贝，成本 3 万元，隔音窗不能超过 3 道； 每建造一堵隔音墙噪音降低 15 分贝，成本 10 万元；距离厂房平均每 25噪音均匀降低 1 分贝m （1）求C 的大小；（2）求加工厂与小区 A 的距离 （精确到 1） ；m广东北江中学高二数学补充讲义线性规划第 5 页 共 10 页4x+5y-200=03x+10y-300=0Ao10xy
10、10050203040（3）为了不影响小区居民的正常生活和休息且花费成本最低，需要安装几道隔音窗，建造几堵 隔音墙?（计算时厂房和小区的大小忽略不计）解：（1）由余弦定理得 cosC，C60； 3 分1 2（2）由题设知，所求距离为ABC 外接圆半径 R，4 分由正弦定理得 R4046 分700 2sinC 答：加工厂与小区 A 的距离约为 404；7 分m （3）设需要安装 x 道隔音窗，建造 y 堵隔音墙，总成本为 S 万元，由题意得：即9 分40485315150,25 03,0,N .xyxyx y 56. 28, 03, 0,N .xy x yx y 其中 S3x10y，当 x2，y
11、1 时，S 最小值为 16 万元 11 分 答：需安装 2 道隔音窗，建造 1 堵隔音墙即可12 分题 5. 某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志“中国印舞动的北京”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂所用的主要原料为 A、B 两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5 盒和 10 盒.若奥运会标志每套可获利 700 元，奥运会吉祥物每套可获利 1200 元，该厂月初一次性购进原料A、B 的量分别为 200 盒和 300 盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润
12、最大，最大利润为多少？ 【解题思路】将文字语言转化为数学式子建立线 性规划模型. 解析:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物 分别为套，月利润为元，由题意得, x yz（） . 0, 0,300103,20054yxyxyx, x yN目标函数为7001200zxy 作出可行域如图所示目标函数可变形为，1200127zxy473,51210 当通过图中的点 A 时，最大，这时 Z 最大。7 121200zyx1200z解得点 A 的坐标为（20,24） ，10 分45200,310300xy xy 将点代入得元(20,24)A7001200zxymax700 20 1200 2442800z
13、答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 20，24 套时月利润最大，最大利润为 42800 元.【规律总结】要注意到生产的产品数量是整数这一隐含条件. 题 6. 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得 利润及每天资源限额（最大供应量）如下表所示：广东北江中学高二数学补充讲义线性规划第 6 页 共 10 页产品消耗量 资源甲产品 （每吨）乙产品 （每吨）资源限额 （每天）煤（t）94360电力（kwh）45200劳力（个）310300利润（万元）612问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品 x 吨 y 吨，获得利润 z 万元1 分依题意可得约束条件：5 分Nyxyxyxyxyx,003001032005436049（图 2 分）利润目标函数8 分yxz126 如图，作出可行域，作直线向右上方平移至 l1位置，直线经过可行域上的lyxzl把直线
