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1、1第七节 积分在经济分析中的应用内容要点内容要点一、一、由边际函数求原经济函数由边际函数求原经济函数：作为导数(微分)的逆运算, 若对已知的边际函数求不定积分，则可求得原经济函数原经济函数)(xF(7.1)dxxFxF)()(其中, 积分常数可由经济函数的具体条件确定.C （1）需求函数 （2）总成本函数 （3）总收入函数 （4）利润函数二、二、由边际函数求最优问题由边际函数求最优问题 三、三、在其它经济问题中的应用在其它经济问题中的应用广告策略广告策略消费者剩余消费者剩余 消费者剩余消费者剩余是经济学中的重要概念, 它的具体定义就是: 消费者对某种商品所愿意付出 的代价, 超过它实际付出的代
2、价的余额. 即: 消费者剩余消费者剩余 = 愿意付出的金额愿意付出的金额实际付出的金额实际付出的金额例题选讲例题选讲由边际函数求原经济函数由边际函数求原经济函数 需求函数需求函数例例 1(E01) 已知对某商品的需求量是价格 p 的函数, 且边际需求该商品的, 4)( pq最大需求量为 80(即时, ), 求需求量与价格的函数关系.0p80q解解 由边际需求的不定积分公式，可得需求量为积分常数).dPPQPQ)( )(dP4元CP 4C(代入 ,80C80)(0PPQ,80C于是需求量与价格的函数关系是 804)(PPQ本例也可由变上限的定积分公式直接求得)0()( )(0QdttQPQP80
3、)4(0dPP.804P总成本函数总成本函数 例例 2 (E02) 若一企业生产某产品的边际成本是产量 q 的函数,2)(2 . 0qeqC2固定成本求总成本函数.,900C解解 由不定积分公式得为积分常数)dxxCxC)( )(dxex2 . 02Cex2 . 02 . 0 2C(由固定成本即时，代入上式得,900C0x,90)0(CC109008C 于是总成本函数为 .8010)(2 . 0xexC总收入函数总收入函数例例 3 (E03) 已知生产某产品 q 单位时的边际收入为 (元/单位), 求生)(qRq2100产 40 单位时的总收入及平均收入, 并求再增加生产 10 个单位时所增加
4、的总收入.解解 由变上限定积分公式dttRxRx)( )(0直接求出 (元)dxxR)2100()40(40 040 02)100(xx2400平均收入 (元)60402400 40)40(R在生产 40 单位后再生产 10 单位所增加的总收入可由增量公式求得(元).)40()50(RRRdxxR)( 50 40元dxx)210050 40元元元 50 402)100xx元元100元利润函数利润函数例例 4 (E04) 已知某产品的边际收入 边际成本 固定,225)(xxR)(xC,413x成本为 求当时的毛利和纯利.,100C5x解法解法一一 由边际利润)( )( )( xCxRxL)413
5、()225(xxx212可求得时的毛利为5xdttdttLx)212()( 5 00,85)12(5 02tt当时的纯利为5x05 0)( )5(CdttLL.751085解法解法二二 总收入 dttRR)( )5(5 0dtt)225(5 0100)25(5 02tt总成本 05 0)( )5(CdttCC10)413(5 0dtt2510)213(5 02tt纯利 )5()5()5(CRL,75251003毛利 .851075)5(0CL由边际函数求最优问题由边际函数求最优问题 例例 5 (E05) 某企业生产吨产品时的边际成本为x.)/(30501)(元元xxC且固定成本为 900 元,
6、 试求产量为多少时平均成本最低? 解解 首先求出成本函数.00)( )(CdttCxCx900)30501(0dttx9003010012xx得平均成本函数为xxCxC)()(xx900301001,900 1001)( 2xxC令 舍去).0C3001x300(2x因此，仅有一个驻点再由实际问题本身可知有最小值.)(xC.3001x)(xC故当产量为 300 吨时，平均成本最低.例例 6 (E06) 假设某产品的边际收入函数为(万元/万台), 边际成本函数为xxR9)(万元/万台), 其中产量以万台为单位.4/4)(xxCx(1) 试求当产量由 4 万台增加到 5 万台时利润的变化量; (2
7、) 当产量为多少时利润最大? (3) 已知固定成本为 1 万元, 求总成本函数和利润函数.解解 (1)首先求出边际利润)( )( )( xCxRxL)44()9(xxx455再由增量公式得(万元)4()5(LLLdttL)( 5 4dtt)455(5 485故在 4 万台基础上再生产 1 万台，利润不但未增加，反而减少.(2) 令可解得(万台), 0)( xL4x即产量为 4 万台时利润最大，由此结果也可得知问题(1)中利润减少的原因. (3) 总成本函数00)( )(CdttCxCx1)44(0dttx14812xx利润函数00)( )(CdttLxLx1)455(0dttx. 18552x
8、x在其它经济问题中的应用在其它经济问题中的应用 广告策略广告策略 例例 7 (E07) 某出口公司每月销售额是 1000000 美元, 平均利润是销售额的 10%. 根据公4司以往的经验, 广告宣传期间月销售额的变化率近似地服从增长曲线 1000000( t 以月te02. 0为单位)公司现在需要决定是否举行一次类似的总成本为 130000 美元的广告活动. 按惯例, 对于超过 100000 美元的广告活动, 如果新增销售额产生的利润超过广告投资的 10%, 则决 定做广告. 试问该公司按惯例是否应该做此广告.解解 由公式知，12 个月后的总销售额是当时的定积分，即12t总销售额=dtet02
9、. 012 0100000012 002. 002. 01000000te 15000000024. 0e(美元)13560000 公司的利润是销售额的 10%，所以新增销售额产生的利润是(美元)156000)1200000013560000(10. 0156000 美元利润是由于花费 130000 美元的广告费而取得的，因此广告所产生的实际利润 是 (美元)26000130000156000元 这表明赢利大于广告成本的 10%，公司应该做此广告.例例 8 (E08) 如果需求函数为，供给函数为,并已知需QQD324)(92)( QQS求量为 2 各单位，求消费者剩余和生产者剩余.解解 首先求
10、出均衡价格与供需量. 由 得, 92324QQ.15, 3*PQ于是315)324(3 0dQQCS45)2324(3 02QQ,227dQQPS)92(453 03 02)9(45QQ . 9例例 9 现对某企业给予一笔投资, 经测算, 该企业在年中可以按每年元的均匀收ATa 入率获得收入, 若年利润为, 试求:r (1) 该投资的纯收入贴现值; (2) 收回该笔投资的时间为多少? 解解 (1) 求投资纯收入的贴现值: 因收入率为年利润为故投资后的年中获总收, a, rT 入的现值为dtaeyrtT0),1 (rTera从而投资所获得的纯收入的贴现值为AyR.)1 (AerarT(2) 求收
11、回投资的时间: 收回投资，即为总收入的现值等于投资，AerarT)1 (.ln1 Araa rT5即收回投资的时间为.ln1 Araa rT例如，若对某企业投资(万元)，年利率为 5%，设在 20 年中的均匀收入率为800A (万元/年)，则有投资回收期为200a(年).05. 0800200200ln05. 01 T25. 1ln2046. 4由此可知，该投资在 20 年中可得纯利润为 1728.2 万元，投资回收期约为 4.46 年.例例 10 有一个大型投资项目, 投资成本为(万元), 投资年利率为 5%, 每年的10000A 均匀收入率为(万元), 求该投资为无限期时的纯收入的贴现值(
12、或称为投资的资本2000a 价值).解解 由已知条件收入率为(万元)，年利率故无限期的投资的总收入2000a%,5r的贴现值为dtaeyrt0dtet05. 002000dtetbb05. 002000lim1 05. 0200005. 0limbbe(万元).4000005. 012000从而投资为无限期时的纯收入贴现值为(万元) =3 亿元AyR300001000040000即投资为无限期时的纯收入的贴现值为 3 亿元.例例 11 (E09) 某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由表示，试求该过的基尼系数. 1 , 0,2xxy解解 如图，dxxfA)(211 0dxx21 0211 03 31 21x61 31 21基尼系数2161 BAA.33. 031课堂练习课堂练习1. 设某产品的总利润为(万元), 其中(百台)为产量,1214)(2qqqLq(1) 求产量等于多少时总利润最大?(2) 从利润最大时, 再生产 200 台, 总利润增加多少?
