方差和标准差

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1、1温故而知新1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）2、均值的性质3、两种特殊分布的均值（1）若随机变量X服从两点分布，则（2）若 ，则反映了离散型随机变量取值的平均水平.2复习 3如果其他对手的射击成 绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1 、2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平. x18910 P0.20.60.2x28910 P0.40.20.4如果其他对手的 射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？显然两名选手 的水平是不同的, 这里要进一步去 分析他们的成绩 的稳定性.探究 4方差定义一组数据的方差：方差反映了这组 数据的波动情况在

2、一组数：x1,x2 ,xn 中，各数据的平均数为 ，则这组数据的方差为：类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差新课 5离散型随机变量的方差和标准差:则称一般地,若离散型随机变量的概率分布列为： 定义 称 为随机变量的标准差 6它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值.71. 已知随机变量x的分布列x01234 P0.10.20.40.20.1求D（）和 . 解：2. 若随机变量x 满足P（x1）p， P（x0）q其中 p+q=1，求E（x) 和 D(x).E(x)pD(x)pq练习 8结论1： 则 ;结论2：若B(

3、n，p)，则E()= np.服从二点分布则E()= p可以证明, 对于方差有下面两个重要性质：则结论 91.已知随机变量x的分布列为则Ex与Dx的值为( ) (A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.212.已知xB(100,0.5),则Ex=_,Dx=_,E(2x-1)=_, D(2x-1)=_12 P0.30.7D5025 991003、有一批数量很大的商品，其中次品占1，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求EX和DX.2，1.98练习 10例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为 ，其分布列为 0 1 2 3P0.

4、30.30.20.2 0 1 2P0.10.50.4判断甲乙两人生产水平的高低？解答例题 11E(）=00.3+10.320.230.2=1.3 E()=00.1+10.520.4=1.3D()=(01.3)20.3+(11.3)20.3（2 1.3）20.2（3-1.3)20.2=1.21结论：甲乙两人次品个数的平均值 相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产 水平高.期望值高，平均值大，水平高方差值小，稳定性高，水平高12例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800 获得相应职位的概率P10.40.30.20.1 乙单位不同职

5、位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自 己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为 自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位.例题 13（2）若 ，则再回顾：两个特殊分布的方差（1）若 X 服从两点分布，则（2）若 ，则两种特殊分布的均值（1）若X服从两点分布，则14方差的性质平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差.均值的性质推论：常数的方差为_.015机动练习117100.8=ppnBX ,n1.6,DX8,EX),(

6、1则，、已知=+=DD则，且、已知,138132163.若随机变量服从二项分布，且E=6 ， D =4,则此二项分布是 。 设二项分布为 B(n,p) ,则 E=np=6D=np(1-p)=4n=18 p=1/317对随机变量X的均值(期望)的理解：(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随机变量X可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是X取值的平均状态；(3)E(X)的公式直接给出了E(X)的求法18例1. (2010衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检

7、规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品(1)若这箱产品被用户接收的概率是 ，求n的值；(2)在(1)的条件下，记抽检的产品件数为X，求X的分布列和数学期望19（1）利用古典概型易求.（2）X的取值为1、2、3，求出分布列代入期望公式.20【解】 (1)设“这箱产品被用户接收”为事件A，n2.(2)X的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=21X的概率分布列为： X123P22(3)设X为签约人数X的分布列如下：P(X=0)=P(X=1

8、)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=23题型二 求随机变量的方差【例2】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.（1）求随机变量X的概率分布列；（2）求随机变量X的期望与方差.24分析 （1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.X013P解 （1）P（X=0）= ,P（X=1）= ,P（X=3）= ,故X的概率分布列为(2)E(X)= D(X)= 25举一反三2. 设在15个同类型的

9、零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数.（1）求X的分布列；（2）求X的均值E(X)和方差D(X).学后反思 求离散型随机变量X的方差的步骤： （1）写出X的所有取值； （2）计算P（X=xi）; (3)写出分布列，并求出期望E(X)； （4）由方差的定义求出D(X).26解析： (1)P(X=0)= , P(X=1)= ,P(X=2)= .故X的分布列为(2)X的均值E(X)和方差D(X)分别为E(X)= ;D(X)= X012P27题型三 期望与方差的综合应用【例3】(14分)（2008广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有

10、一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为.(1)求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？28分析 求的分布列时，要先求取各值时的概率.解 （1）的所有可能取值有6,2,1,-21P(=6)= =0.63,2P(=2)= =0.25,3P(=1)= =0.1,4P(=-2)= 5故的分布列为76

11、21-2p0.630.250.10.0229(2)E()=60.63+20.25+10.1+（-2）0.02=4.34 9(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01=4.76-x(0x0.29).12依题意，E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.0313所以三等品率最多为3%14学后反思 本题主要考查学生运用知识，迁移知识的能力.解决该类实际问题的关键是将实际问题化为数学问题，利用已学的知识进行处理，这也是今后高考的一大热点.30例4.（2011辽宁理19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种

12、作 物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验选取 两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记 为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种 甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表 ： 品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本 方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？其中 表示

13、样本平均值附：样本数据：样本方差：例题精析例题精析31解：(1)x的可能取值为：0,1,2,3,4，且x的分布列为：x的数学期望为：例题精析例题精析32（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大 于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异 不大，故应该选择种植品种乙.例题精析例题精析33知识回顾求离散型随机变量的期望、方差通常有哪些步骤？在解决上述问题中经常要用到哪些性质、公式？求分布列求期望求方差分布列性质346.根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为 0.01，保险公司开办一

14、年期万元以上家庭财产保险，参加者 需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保险 公司赔偿a元（a100），问a如何确定，可使保险公司期望 获利？7、每人交保险费1000元，出险概率为3%，若保险公司的 赔偿金为a（a1000）元，为使保险公司收益的期望值不 低于a的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？8、设X是一个离散型随机变量 ，其概率分布为求： （1） q的值；（2）EX，DX。X-101P1/21-2q359.（11.全国）某商场经销某商品，根据以往资料 统计，顾客采用的分起付款期数 的分布列为： 12345 P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200 元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5 期付款，其利润为300元， 表示经销一件该商品的 利润。（1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有 一位采用1期付款” 的概率P(A)；（2）求 的分布列及期望E 。 3637析:审清题意是解决该题的关键.1.抓住蝇子一个个有顺序地飞出,易联想到把8只蝇子看作8个元素有序排列 .，由于=0“表示 ”，最后一只必为果蝇，所以