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1、二重积分的计算习题解析与相关练习作业 P366利用极坐标计算二重积分其中D是由圆周及直线y= 0，y= x所围成的在第一象限内 的闭区域。解：在极坐标系中，于是知识整理（1） 直角坐标系下二重积分的计算I、 x 型区域（先y后x）II、 y 型区域（先x后y）（2） 极坐标系下二重积分的计算III、方法与步骤 绘出区域D的图形： 确定积分限： 计算积分： 利用奇偶性简化运算。计算二重积分可利用区域D的对称性和被积函 数的奇偶性简化计算。对 有x y D关于x、y轴对称 f(x,y)是x、y的偶函数（奇函数）y x注：例1求以xOy面上的圆域 为底，圆柱面 为侧面 ， 抛物面为顶的曲顶柱体的体积
2、。 并在极坐标系下求其二重积分值xyzO2解：如图所示，所求曲顶柱体的体积为其中积分区域D可表示为由D的对称性及被积函数关于x，y均为偶函数可知其中为D在第一象限部分，于是解法2：（极坐标系下解）在极坐标系中，闭区域D可表示为于是例2 计算二重积分D是顶点分别为的三角形闭区域解：xyD续解例3 计算二重积分其中解：xyD1D2-1-111如图因此【相关练习】D为圆域D为半圆域例4 把下列二重积分 化为二次积分（写出两种积分次序） 积分区域为抛物线 与直线及x轴所围成的闭区域xyD解：解方程组 得 1所以例5 化出积分区域，把积分 表示为极坐标形式的二次积分r xyO解：如图，在极坐标系中，所以aa-a【相关练习】交换二次积分的次序把积分化为极坐标形式例6 【平均利润问题】设公司销售商品甲x个单位，商品乙y个单位 的利润是由下列函数式确定：现已知一周内甲商品的销售量在150200之 间变化，乙商品的销售量在80100之间变 化，试求销售这两种商品一周的平均利润。解：因x,y的变化范围D:150x200,80y100, 这个区域D的面积为这家公司销售两种商品一周的平均利润是：作业：习题92 P36914、 15、
