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1、2 2 2 2 平差数学模型平差数学模型平差数学模型平差数学模型与最小二乘原理与最小二乘原理与最小二乘原理与最小二乘原理2.12.1 参数估计及其最优性质参数估计及其最优性质几何模型：几何模型：包括水准网和平面控制网（包括测角网、测边网、包括水准网和平面控制网（包括测角网、测边网、边角网）边角网） 。每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中。每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这
2、些元素都被称为为几何量几何量。在诸多几何量中，有的可以直接测量，有的是间接求出。几在诸多几何量中，有的可以直接测量，有的是间接求出。几何模型不同，它所需要知道的元素的个数与类型也不同，目标何模型不同，它所需要知道的元素的个数与类型也不同，目标是确定几何模型的唯一性。是确定几何模型的唯一性。1.1.如图如图 2-12-1 的三角形的三角形ABCABC中，为中，为了确定它的了确定它的形状形状，只需要知道三个内，只需要知道三个内角中的任意两个内角的大小就可以了。角中的任意两个内角的大小就可以了。它们都是同一类型的元素。它们都是同一类型的元素。2.2.要确定该三角形的要确定该三角形的大小和形状大小和形
3、状，就必须知道三个不同的，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。它们元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。它们中间都至少包含一条边长该情况包含角度和边长两类元素。中间都至少包含一条边长该情况包含角度和边长两类元素。 3.3.要确定该三角形的要确定该三角形的大小、形状大小、形状和它在一个特定坐标系中和它在一个特定坐标系中的的位置和方向位置和方向，则必须知道图中，则必须知道图中 1515 个元素（个元素（6 6 个坐标元素，个坐标元素，3 3个内角元素，个内角元素，3 3 个边长元素，个边长元素，3 3 个方位角元素）中的个方位角元素）中的 6 6 个不
4、同的个不同的元素，这元素，这 6 6 个元素可以构成更多的组合，至少要包含一个点的个元素可以构成更多的组合，至少要包含一个点的坐标和一条边坐标方位角，它们的改变只相当于整个网在坐标坐标和一条边坐标方位角，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。如果如果A A、B B两点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置两点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边或一边和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。一角等。我们把能够唯一地
5、确定一个几何模型所必要的元素，称为我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必必要观测元素要观测元素。必要观测个数用必要观测个数用t t表示表示。例如，确定三角形的形。例如，确定三角形的形状，必要观测元素个数状，必要观测元素个数t t=2=2；确定三角形的大小和形状，必要；确定三角形的大小和形状，必要观测元素个数观测元素个数t t=3=3；确定三角形的大小、形状、位置和方向，；确定三角形的大小、形状、位置和方向，必要观测元素个数必要观测元素个数t t=6=6。对于后两种情况，不仅要考虑必要观。对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确测元素的
6、个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。定模型。必要起算数据个数用必要起算数据个数用d d表示，水准网为表示，水准网为 1 1，测角网为，测角网为 4 4，测边，测边网和边角网为网和边角网为 3 3。观测值个数用观测值个数用n n个表示个表示。当当n n t t时，能及时发现测量中的时，能及时发现测量中的粗差和错误粗差和错误，提高观测成果，提高观测成果的精度和可靠性。令多余观测个数的精度和可靠性。令多余观测个数，在统计学中称，在统计学中称r rtnr为自由度。为自由度。一个几何模型能通过一个几何模型能通过t t个必要而独立个必要而独立的量唯一的确定下来，的量唯一的确定下来，当模型
7、中有当模型中有r r个多余观测量，一定存在着个多余观测量，一定存在着r r个这样的函数关系个这样的函数关系式。式。例如在上述例如在上述 2 2 中，如果观测了角度中，如果观测了角度、，即，即n n=3,=3,t t=2,=2,1L2L3L则则r r=1,=1,它们的真值之间存在如下关系式它们的真值之间存在如下关系式0180 321LLL有有r r个多余观测，就会有个多余观测，就会有r r个这样的关系式（条件方程）个这样的关系式（条件方程） 。由。由于观测不可避免地含有误差，所以于观测不可避免地含有误差，所以0180321LLL为了消除矛盾，通常用另一组被称为为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观
8、测值估值观测值估值” （又叫平差（又叫平差值、最或是值、最或然值）值、最或是值、最或然值）来代替观测值来代替观测值，即，即LLiiiVLL称为观测值的改正数，未知数个数称为观测值的改正数，未知数个数方程式个数，无数方程式个数，无数iV多组，所以问题的关键点是：在无数多组解中求得唯一的一组多组，所以问题的关键点是：在无数多组解中求得唯一的一组最优改正数。最优改正数。测量平差的任务就是对参数（未知数）及其方差（协方差）测量平差的任务就是对参数（未知数）及其方差（协方差）进行估计，即对平差数学模型的参数进行估计（点估计和区间进行估计，即对平差数学模型的参数进行估计（点估计和区间估计）估计） 。由于多
9、余观测而产生的平差数学模型，都不可能直接解。由于多余观测而产生的平差数学模型，都不可能直接解方程而求得唯一解，测量平差中的参数估计，就是要在无数多方程而求得唯一解，测量平差中的参数估计，就是要在无数多组解中，找到一组最优的解作为平差参数的最终估计，为此，组解中，找到一组最优的解作为平差参数的最终估计，为此，必须对平差数学模型附加某种约束条件，实现满足最优性质的必须对平差数学模型附加某种约束条件，实现满足最优性质的参数唯一解，其中最广泛采用的参数唯一解，其中最广泛采用的平差准则是最小二乘准则平差准则是最小二乘准则。最优估计量主要有以下最优估计量主要有以下 3 个性质。个性质。1 一致性一致性满足
10、满足0)(lim2 XXE n的估计量的估计量为参数为参数 X 的一致性估计量。的一致性估计量。X2无偏性无偏性满足满足XXE)(则称则称为为 X 的无偏估计量。的无偏估计量。X同时满足同时满足XXE)(0)(lim2 XXE n则称则称为为 X 的严格一致性估计量。的严格一致性估计量。X3 有效性有效性具有无偏性的估计量并不唯一，但毫无疑问方差最小的估具有无偏性的估计量并不唯一，但毫无疑问方差最小的估计量是最优的。设有估计量计量是最优的。设有估计量1和和2，如果，如果 D(1)tut，有，有 t t 个独个独立立)( 1XFL n 或或0)( 1 X S111 nuunnlxBV1110 s
11、sxuusWxC)(ooXFLLLl)(o xXW111 nuunndXBL或或011 souusCXC111 nuunnlxBV1110 ssxuusWxC)(dBXLLLloo)(oo xCCXW附有条件的附有条件的条件平差条件平差其他其他0),( 1 XLF c或或0)( 1 X S0 111 cuucnncWxBVA0 11 sxuusWxC),(oXLFW)(o xXW01011 cuucnncAXBLA或或011 souusCXC0 111 cuucnncWxBVA0 11 sxuusWxC)(0ABXALWo)(oo xCCXW随机模型：随机模型：nnnnnnPQD 12 02 0
