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1、 多项式整除性理论主要讨论任给两个多项 式 f(x),g(x), 是否有 g(x) 整除f(x)以及 与此相关的多项式的最大公因式, 多项式的 因式分解等问题. 在讨论一元多项式的整除性理论时,带余 除法是 一个重要定理, 它给出了判断多项 式 g(x)能否整除多项式f(x)的一个有效方法 ; 并且是讨论一元多项式的最大公因式及多 项式根的理论基础.1-3 多项式的整除性和带余除法 带余除法定理:对于Px中任意两个 多项式f(x)与g(x),其中(g(x)0, 一定有Px中的多项式q(x)和r(x) 存在,使得 Definition5.(整除的定义) 称Px上的多项式g(x) 整除f(x),如
2、果 存在Px上的多项式h(x), 使得g(x)0, g(x)f(x)等价于 g(x) 除 f(x)的余式零. q(x)和r(x)的求法与中学的方法基本相同. 在做除法时, 可以 分离系 数, 因为次多项式是由它的1 个系数唯一确 定的, (做除法时按降幂排列). 由定义不难看出 1.零多项式被任意一个多项式整除; 2.零多项式不能整除任意非零多项式; 3.任意多项式一定整除它自身. 4.零次多项式(非零常数)整除任意多项式. 当g(x)0时,由带余除法定理得到 Theorem1.对于Px中任意两个多项式 f(x)与g(x),其中g(x)0, 则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除 f(
3、x)的余式为零. 整除性的几个常用性质: 1.1.任一多项式 f(x)都能被 cf(x) 整除 2.2.如果如果f(f(x x)|g()|g(x x),g(),g(x x)|f()|f(x x),),则则f(f(x x)=cg()=cg(x x)(c0);)(c0); 3.3.如果如果f(f(x x)|g()|g(x x),g(),g(x x)|h()|h(x x),),则则 f(f(x x)|h()|h(x x);); 4.4.如果如果g(g(x x)|f()|f(x x),),则对任意多项式则对任意多项式u(x) u(x) 都有都有 g(g(x x)|u(x)f()|u(x)f(x x);
4、); 5.5.如果如果f(f(x x)|g()|g(x x),f(),f(x x)|h()|h(x x),),则对任意则对任意 多项式多项式u(x),v(x) u(x),v(x) 都有都有 f(f(x x)|(u(x)g()|(u(x)g(x x)+v(x)h()+v(x)h(x x););值得注意的是:多项式的整除不是运算, 它是x元素间 的一种关系, 类似于实数集 R 元素间的大小 关系, 相等关系;多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的. 即当数域扩充时, 作为扩充后的数域上的多项 式 f(x)和g(x), g(x)除f(x)的商式和余式仍然是上面的q(x)和r(x). 补充:综合除法课堂小结 1.整除的概念及性质 2.带余除法定理 3.整除的定义及性质 4.整除与带余除法的关系 5.综合除法原理 作业： 认真复习总结所学知识，作学习笔记； P442、3、4
