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1、xyzSNP复变变函数与积积分变换变换第五章 留数1. 孤立奇点2. 留数3. 留数在定积分计算上的应用4. 对数留数与辐角原理5. 第五章小结与习题R xyo第一节 孤立奇点孤立奇点的概念1函数的零点与极点的关系2小结与思考4函数在无穷远点的性态3一、孤立奇点的概念定义 如果函数在 不解析, 但在的某一去心邻域内处处解析, 则称为的孤立奇点.例1是函数的孤立奇点.是函数的孤立奇点.注意: 奇点不一定是孤立奇点.例2 指出函数在点的奇点特性.解即在的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为总有不是孤立奇点.所以孤立奇点的分类依据在其孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类:1可
2、去奇点1可去奇点; 2极点; 3本性奇点.如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那末孤立奇点 称为 的可去奇点.1) 定义其和函数为在解析的函数.说明: (1)(2) 无论在是否有定义, 补充定义则函数在解析.2) 可去奇点的判定(1) 由定义判断:的洛朗级数无负在如果幂项则为的可去奇点.(2) 判断极限若极限存在且为有限值,则为的可去奇点.如果补充定义:时,那末在解析.例3 中不含负幂项,是的可去奇点 . 例4 说明为的可去奇点.解 所以为的可去奇点.无负幂项另解 的可去奇点.为2. 极点 其中关于的最高幂为即级极点.那末孤立奇点称为函数的或写成1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个的负幂项, 特
3、点:说明:1.2.(1)(2)的极点 , 则为函数如果例5 有理分式函数是二级极点, 是一级极点.2)极点的判定方法的负幂项为有的洛朗展开式中含有限项.在点 的某去心邻域内其中 在 的邻域内解析, 且 (1) 由定义判别(2) 由定义的等价形式判别(3) 利用极限判断 .课堂练习求的奇点, 如果是极点, 指出它的级数.答案3.本性奇点如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点称为的本性奇点.的负幂项,例如，含有无穷多个z的负幂项 特点: 在本性奇点的邻域内不存在且不为同时不存在.综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点存在且为 有限值不存在 且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂
4、项 关于的最高幂 为二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义 不恒等于零的解析函数如果能表示成其中在解析且m为某一正整数, 那末称为的 m 级零点.例6注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.2.零点的判定零点的充要条件是证 (必要性)由定义:设的泰勒展开式为:如果在解析, 那末为的级如果为的级零点其中展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数公式知:并且充分性证明略 .(1)由于知是的一级零点 .课堂练习是五级零点,是二级零点.知是的一级零点.解 (2)由于答案例7 求以下函数的零点及级数:(1)(2)的零点及级数 .求3.零点与极点的关系 定理如果是的 m 级极点, 那末就是的 m
5、级零点. 反过来也成立.证 如果是的 m 级极点, 则有当 时 ,函数在解析且由于只要令那末的 m 级零点. 就是反之如果的 m 级零点, 是那末当 时,解析且所以是的 m 级极点.说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.例8 函数有些什么奇点, 如果是极点, 指出它的级.解 函数的奇点是使的点,这些奇点是是孤立奇点.的一级极点.即解 解析且所以不是二级极点, 而是一级极点.是的几级极点?思考例9 问是的二级极点吗?注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .三、函数在无穷远点的性态1. 定义 如果函数在无穷远点的去心邻域内解析, 则称点为的孤立奇点.R xyo令变换规定此变换将:映
6、射为扩充 z 平面扩充 t 平面映射为映射为映射为结论: 在去心邻域内对函数的研究在去心邻域内对函数的研究因为 在去心邻域内是解析的,所以是的孤立奇点.规定: m级奇点或本性奇点 .的可去奇点、m级奇点或本性奇点,如果 t=0 是是的可去奇点、 那末就称点1)不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项;那末是的 1)可去奇点 ;2) m 级极点;3)本性奇点 .判别法1 (利用洛朗级数的特点)2.判别方法:在内的洛朗级数中:如果例10 (1)函数在圆环域内的洛朗展开式为:不含正幂项 所以是的可去奇点 .(2)函数含有正幂项且 z 为最高正幂项,所以是的 m级极点.(
7、3)函数的展开式:含有无穷多的正幂项所以是的本性奇点.课堂练习的奇点及其类型.说出函数答案判别法2 : (利用极限特点)如果极限1)存在且为有限值 ; 2)无穷大; 3)不存在且不为无穷大 ;那末是的1)可去奇点 ;2)m级极点 ;3)本性奇点 .例11 函数在扩充复平面内有些什么类型的奇点? 如果是极点, 指出它的级.解 函数除点外, 所以这些点都是的一级零点,故这些点中除1, -1, 2外, 都是的三级极点.内解析 .在所以那末是的可去奇点.因为不是的孤立奇点.所以四、小结与思考理解孤立奇点的概念及其分类；掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征；熟悉零点与极 点的关系.思考题思考题答案xyzSNPThank You! 再见！
