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1、经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处： 系统模型为单输入单输出系统； 忽略初始条件的影响； 不包含系统的所有信息； 无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。第二章 状态空间分析法复杂的时变、非线性、多输入多输出系统的问题，需要用对系统内部进行描述的新方法状态空间分析法。2.2 线性定常连续系统动态方程的建立线性定常连续系统的动态方程的形式： 一般形式 典型形式一 物理系统动态方程的建立实际物理系统动态方程的建立的原则： 根据所含元件遵循的物理、化学定律，列写其微分方程； 选择可以量测的物理量作为状态变量。例2-1 设机械位移系统如图2-1 所示。力F及阻尼器汽缸速度v 为两种外作用，给定输
2、出量为 质量块的位移x及其速度 、加 速度 。图中m、k、f分别为 质量、弹簧刚度、阻尼系数。 试求该双输入-三输出系统的动态方程。图21 双输入-三输出机 械位移系统点击观看解 据牛顿力学，故有显见为二阶系统，若已知质量块的初始位移及初始速度，该微 分方程在输入作用下的解便唯一确定，故选 和 作为状态 变量。设 ，三个输出量为 ，可由微分方程导出下列动态方程： 其向量-矩阵形式为式中例2-2 设空间飞行器如图2-2所示。利用本体坐标系和飞行器本地垂线参考坐标系，试求空间飞行器的动态方程。图22 空间飞行器点击观看解：空间飞行器相对于参考坐标系进行姿态定向，用一组旋 转Euler角即俯仰角、偏
3、航角和滚动角可以唯一的确定飞行 器的定向。利用动力矩定理和动量定理，同时考虑姿态偏移小、速度 低、动量小及忽略惯量直积的情况下，可得俯仰轴方向的 线性化方程为 ：而滚动轴和偏航轴方向的线性化方程为 ：其中状态变量图 将状态方程中的每个一阶微分方程用图解来表示，即每个 一阶微分方程的右端诸项之和，构成了状态变量的导数，经积 分可得该状态变量，最终按照系统中各状态变量的关系连接成 封闭的图形，便是状态变量图。它便于在模拟计算机上进行仿真，是向量-矩阵形式状态方 程的展开图形，揭示了系统的详细的内部结构。 状态变量图中仅含积分器、加法器、比例器三种元件及一 些连接线。积分器的输出均为状态变量。输出量
4、可根据输出方 程在状态变量图中形成和引出。例2-1的状态变量图见图2-3，图中 为拉普拉斯算子。 图2-3 状态变量图二 由微分非常或传递函数建立动态方程1 实现：对于给定的系统微分方程或系统传递函数，寻求对应的动态 方程而不改变系统的输入-输出特性，称此动态方程是系统的一 个状态空间实现。由于状态变量的选择不唯一，所以状态空间实现也不唯一， 最小实现也不唯一。设单输入-输出线性定常连续系统的微分方程具有下列一般形式：(2-11)式中y为系统输出量，u为系统输入量，其系统传递函数为(2-12)2 典型实现：1. 能观测标准形实现 设(2-13)其展开式为考虑式(2-11)可得故有状态方程：(2
5、-14)输出方程为(2-15)其向量-矩阵形式为 (2-16)式中 式(2-16)所示动态方程，称能观测标准形实现。 2能控标准形式实现将式(2-12)所示传递函数 分解为两部分相串联，并引入中 间变量 ，见下图所示 ：由第一个方块可导出以u作为输入、z作为输出的不含输入导数 项的微分方程，由第二个方块可导出系统输出量y可表为z及其 导数的线性组合，即 (2-17)定义如下一组状态变量(2-18)可得状态方程(2-19)输出方程为(2-20)其向量-矩阵形式为(2-21)式中式(2-21)所示动态方程，称能控标准形实现。注意到能控、能观测两种准形实现动态方程中诸矩阵存在下列 关系：(2-22)
6、 式中下标表示能控标准形， 表示能观测标准形，T为转置记号 。式(2-22)所示关系称为对偶关系。对偶关系：3G(s)的对角形实现设D(s)的因式分解为(2-23)式中为系统的相异实极点，则G(s)可展开成部分分式之和，即(2-24) 其拉氏反变换结果有(2-28) 若令状态变量为(2-27) 称为极点 的留数。且有(2-26) 式中(2-25) 其向量-矩阵形式为(2-31) (2-30) 展开可得(2-29) 式中 式中 为 重实极点， 为相异实极点，则 可 展成下列部分分式之和，即 4 的约当形实现当 不仅含有相异实极点，还含有相同实极点时，除了可化 为能控、能观测标准形实现以外，还可化
7、为约当形实现，其A 阵是一个含约当块的矩阵。设 的因式分解为(2-32) (2- 33) 式中(2- 34) 且 (2- 35) 取状态变量 为则(2- 37) (2-36) 由式(2-36)有(2-38) 故有状态方程输出方程为(2-40) 其向量-矩阵形式为(2-41) (2-39) 式中当系统传递函数为应用综合除法有(2-42) (2-43) 式中 是直接联系输入、输出量的前馈系数， 是严格有 理真分式，其系数同综合除法得(2-44) 其动态方程为(2-45) 试确定可控标准形、可观测标准形 动态方程；分别确定状态变量与系 统输入量 、系统输出量 的关系 ；画出状态变量图。解 该系统传递
8、函数 为可控标准形动态方程各矩阵为例2-3 设二阶系统微分方程为与 的关系可如下导出：将 串联分解并引入中间 变量 ，有则 令 ，可得所选状态变量为可观测标准形动态方程各矩阵为所选状态变量由式(2-13)可得图2-5(a)、(b)分别示出可控及可观测标准形实现的状态变量图。(a) 可控标准形实现的状态变量图图2-5(b) 可观测标准形实现的状态变量图三 动态方程的线性变换 设系统的动态方程为式中P为非奇异线性变换矩阵。令 (2-47) (2-46) 式中 (2-48) 可得变换后系统动态方程为四 线性化动态方程的建立实际的物理系统通常含有非线性因素，其一阶微分方程组的 一般形式为输出方程的一般形式为(2-49) (2-50) 其向量-矩阵形式为(2-51) 式中、g的诸元是 和 的某类非线性函数。当和 限制在工作点或平衡点附近的小偏差范围内工作时，系 统非线性方程能足够精确的用线性化方程来描述。(2-52) 故有按理想弹道飞行的导弹即为平衡点。将式(2-51)在 附近展开成台劳级数 并略去二次及其以上各项有可解得(2-53) 式(2-54)和式(2-55)即为线性化动态方程，式中(2-55) 故 (2-54)
