[工学]空气动力学平面势流

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1、第3章 理想不可压缩流体平面位流31 理想不可压缩流体平面位流的基本方程 32 几种简单的二维位流 321 直匀流 322 点源 323 偶极子 324 点涡33 一些简单的流动迭加举例 331 直匀流加点源 332 直匀流加偶极子 333 直匀流加偶极子加点涡 34 二维对称物体绕流的数值解3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连续方程和欧拉运动方程组。在第二章中已给出这些方程的推导过程，本章应该讨论怎样求解这些方程。但是，要想得到这些偏微分方程的解，并非易事。因为实际飞行器的外形都比较复杂，要在满足这些复杂边界条件下求得基本方程的解，困难是相当大的

2、。为了简化求解问题，本章首先介绍流体力学中一类简单的流动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。这是早期流体力学发展的一种理想化近似模型，比求解真实粘性流动问题要容易的多。在粘性作用可忽略的区域，这种理想模型的解还是有相当的可信程度。 1、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程初始条件和边界条件为 在t=t0时刻，在物体的边界上 在无穷远处如果没有无旋流条件进一步简化上述方程，求解起来也是很困难的。如果没有无旋流条件进一步简化上述方程，求解起来也是很困难的。 这是因为方程中的对流项是非线性的，而且方程中的速度这是因为方程中的对流项是非线性的，而且方程中的速度V V和和压强压强p p相相 互偶合影响，需要

3、一并求出。但是，对于无旋流动，问题的复杂性可互偶合影响，需要一并求出。但是，对于无旋流动，问题的复杂性可 进一步简化，特别是可将速度和压力分开求解。这是因为，对于无旋进一步简化，特别是可将速度和压力分开求解。这是因为，对于无旋 运动情况，流场的速度旋度为零，即运动情况，流场的速度旋度为零，即存在速度势函数（位函数）为如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到3.1、平面不可压位流的基本方程由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到的这个方程是大家熟知的二 阶线性偏微分方程，拉普拉斯方程，这是一个纯运动学方程。如果对 这个方程赋予适定的定解条件，就可以单独解出速度位函数，继而求 出速度值。与压强p

4、没有进行偶合求解，那么如何确定压强呢？在这种 情况下，可将速度值作为已知量代入运动方程中，解出p值。实际求解 并不是直接代入运动方程中，而是利用Bernoulli(或Lagrange)积分得到 。对于理想不可压缩流体，在质量力有势条件下，对于无旋流动，运 动方程的积分形式为对于定常流动，质量力只有重力，得到如果忽略质量力（在空气动力学中经常不考虑重力的作用）由此说明，只要把速度势函数解出，压强p可直接由Bernoulli方程得到。 在这种情况下整个求解步骤概括为：3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程（1）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度分量；（2）由Bernou

5、lli方程 确定流场中各点的压强。这使得速度和压强的求解过程分开进行，从而 大大简化了问题的复杂性。综合起来，对于理想不可压缩流体无旋流动 ，控制方程及其初边界条件为初始条件边界条件为固壁面条件自由面条件无穷远处在流体力学中的边界条件多数属于第二类边界条件，及在边界上给定速度势 函数的偏导数。3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程2、速度势函数的性质 （1）速度势函数沿着某一方向的偏导数等该方向的速度分量，速度势函 数沿着流线方向增加。由此可得出，速度势函数允许相差任意常数， 而不影响流体的运动。（2）速度势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。满足解的线性迭加原 理。如

6、果速度势函数 满足拉普拉斯方程，则它们的线性组合也满足 拉普拉斯方程。（3）速度势函数相等的点连成的线称为等势线，速度方向垂直于等势线 。3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程（4）连接任意两点的速度曲线等于该两点的速度势函数之差。速度线积 分与路径无关，仅决定于两点的位置。如果是封闭曲线，速度环量为 零。3、流函数及其性质根据高等数学中，格林公式可知（平面问题的线积分与面积分的关系）如果令3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程由此可见，下列线积分与路径无关存在的充分必要条件是这是不可压缩流体平面流动的连续方程。这样，下列微分一定是某个函数

7、的全微分，即这个函数称为流函数。由此可见，对于不可压缩流体的平面流动，无论是 理想流体还是粘性流体，无论是有涡流动还是无涡流动，均存在流函 数。流函数的概念是1781年Lagrange首先引进的。流函数具有下列性 质 （1）流函数值可以差任意常数而不影响流动。 （2）流函数值相等的点的连线是流线。即等流函数线的切线方向与速度 矢量方向重合。3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程在流函数相等的线上，有上式即为平面流动的流线方程。 （3）流函数在某一方向的偏导数顺时针旋转90度方向的速度分量。根据流函数这一性质，如果沿着流线取s，反时针旋转90度取n方向，则有（流函数增值

8、方向沿速度方向反时针旋转90度方 向） （4）理想不可压缩流体平面势流，流函数满足拉普拉斯方程。即3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程（5）任意两条流线之间的流函数之差等于通过此两条流线之间的单宽流 量q。4、平面势流流函数与速度势函数之间的关系及其流网的概念 （1）理想不可压缩流体，平面势流流函数和速度势函数均满足拉普拉斯 方程，且满足柯西-黎曼条件。（2）过同一点的等速度势函数线与等流函数线正交（等势线与流线正交 ）。 等流函数线是流线，有3.13.1、平面不可压位流的基本方程、平面不可压位流的基本方程另一方面，过该点的等势函数线方程为在同一点处，流线与等势线的

9、斜率乘积为说明流线与等势线在同一点正交。 （3）流网及其特征在理想不可压缩流体定常平面势流中，每一点均存在速度势函数和流函数 值。这样在流场中，存在两族曲线，一族为流线，另一族为等势线， 且彼此相互正交。把由这种正交曲线构成的网格叫做流网。在流网中 ，每一个网格的边长之比等于势函数和流函数的增值之比。如果 网格正方形。3.1、平面不可压位流的基本方程3.1、平面不可压位流的基本方程流网不仅可以显示流速的分布情况，也可以反映速度的大小。如流线密的地方流速大，流线稀疏的地方流速小。如果相邻流线之间的流函数差为常数，等于单宽流量增量。即表示流速与网格间距成反比，因此流线的疏密程度反映了速度的大小。5

10、、理想不可压缩流体平面定常无旋流动数学问题的提法对于理想不可压缩平面定常无旋流动问题的数学提法共有三种。设给定一平面物体C，无穷远为直均流，在绕流物体不脱体的情况下， 求这个绕流问题。 （1）以速度势函数为未知函数的提法（2）以流函数为未知函数的提法（3）以复位势w(z)为未知函数提法需要求解满足一定定解条件的在C外区域内的解析函数。3.1、平面不可压位流的基本方程3.2、几种简单的二维位流1、直匀流直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为位函数为常用平行于x轴的直匀流，从左面远方流来，流速为 。相应的流函数和势函数为；3.2、几种简单的二维位流2、点源源可以有正负。正源是从流场上某一

11、点有一定的流量向四面八方流开去的一种流动。负源（又名汇）是一种与正源流向相反的向 心流动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有r，而没有 。设半径为r处的流速是r，那末这个源的总流量是 流量是常数，故流速r与半径成反比。3.2、几种简单的二维位流流函数的表达式是或 位函数从 的式子积分得到在极坐标系中，速度分量与流函数和势函数偏导数关系式为3.2、几种简单的二维位流如果源的位置不在坐标原点，而在A（,）处3.2、几种简单的二维位流3、偶极子等强度的一个源和一个汇，放在x轴线上，源放在（-h，0）处，汇放在（0，0）处。从源出来的流量都进入汇。3.2、几种简单的二维位流应用叠加原理，位函数和

12、流函数如下其中表示流场点P分别与源和汇连线与x轴之间的夹角。3.2、几种简单的二维位流现在我们考虑一种极限情况，当h0，但同时Q增大，使保持不变的极限情况。这时位函数变成偶极子。等位线是一些圆心在x轴上的圆，且都过原点。流函数的式子，取h0而Qh/2=M保持不变的极限结果，是3.2、几种简单的二维位流3.2、几种简单的二维位流流线也是一些圆，圆心都在y轴上，且都过源点O。两个分速的表达式是:合速度为3.2、几种简单的二维位流要注意，偶极子是源汇无限靠近的极限情况，它是有轴线方向的，原来的源和汇放在哪条直线上，那条直线就是它的轴线。 前面表示的偶极子是以x轴为轴线的，其正向为轴线上的流线方向，前

13、面的偶极子是指向负x方向的。如果偶极子轴线和x轴成角，正向指向第三象限，则势函数为相应的流函数为这个偶极子的正向指向第三象限。3.2、几种简单的二维位流如果偶极子位于（，），轴线和x轴成角，正向指向第三象限，则势函数和流函数分别为 3.2、几种简单的二维位流4、点涡点涡是位于原点的一个点涡的流动，流线是一些同心圆。流速只 有 ，而没有 。式中的 是个常数，称为点涡的强度，反时针方向为正。分速 和离中心点的距离r成反比，指向是反时针方向的。其位函数和 流函数分别为（等势线是射线，流线是圆） 3.2、几种简单的二维位流如果点涡的位置不在原点，而在（，），则点涡的位函数和流函数分别是 沿任意形状的围

14、线计算环量，值都是 ，只要这个围线把点涡包围在内 ，但不包含点涡在内的围线，其环量等于零。这种点涡其实应该看作是一根在z方向无限长的直涡线。涡本来是有旋流 动，但像这样一根单独的涡线所产生的流场，除真正的涡心那一条线（ 在平面里就是一点）之外，其余的地方仍是无旋流动。当r0时，速度 趋近于无穷大，相应的压强也趋于负无限大，这是不现实的。按这个速 度分布规律，速度在半径方向的变化率是当r很小之后，这个变化率极大，这时粘性力必然要起作用（粘性力与 速度的法向变化率成正比）。结果，实际涡总是有一个核，核内流体的 不是与r成反比，而是与r成正比。但核外的流速是与r成反比的，如图 所示。核内是有旋流，核

15、外是无旋流。这个核的尺寸究竟有多大？它是 因流体的粘性大小及涡强大小而不同的。一般地说，这个尺寸不大，我 们作外部流场的计算时，可以不管它，把它看作很微小就行了。这里要 说明的一个事实是，涡对于外部流场是产生诱导速度的（即扰动），其 值与至中心的距离成反比，但对它自己的核心是没有诱导速度的。3.2、几种简单的二维位流3.3、 一些简单的迭加举例1 、直匀流加点源在一个平行于x轴由左向右流去的直匀流里，加一个强度为Q的源，把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的位函数是两个分速是在x轴线上有一个合速为零的点，即驻点A。3.3、 一些简单的迭加举例令 即得驻点xA坐标为3.3、 一些简单的迭加举例流动的流函数是对于零流线是一条通过坐标原点的水平线。 对于的流线方程为得到解为说明是通过驻点的一条水平流线。对于非水平流线，半径r3.3、 一些简单的迭加举例如对于相应的半径r为全部流线谱中，经过驻点A的流线BAB是一条特殊的流线， 。 它像一道围墙一样，把流场划分成为两部分。外面的是直匀流 绕此围墙的流动，里面的是源流在此围墙限制之内的流动。流 线是气流不可逾越的线。一个物体放在气流里，它的边界也是 气流不可逾越的界线