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1、 第第2 2章章 逻辑函数及其简化逻辑函数及其简化2.1 2.1 逻辑代数逻辑代数2.2 2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化逻辑代数 逻辑代数是英国数学家乔治.布尔（Geroge.Boole）于1849年首先进行系统论述的，也称布尔代数；由于被用在开关电路的分析和设计 上，所以又称开关代数。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的 取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。0 和 1并不表示数值的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。 功能描述方法有： 1）真值表：即将自变量和因变量（输入变量和输出变量）的所有组合对应的值全部列出来形成的表格。 2）逻辑符号：用规定的图形符号来表示。 逻
2、辑运算：两个表示不同逻辑状态的二进制数码之间按照某种因果关系进行的运算。一、概述二、基本逻辑运算1. 与运算（逻辑乘）（AND）只有决定事件结果的全部条件只有决定事件结果的全部条件同时同时具备时，结果才发生。具备时，结果才发生。A AB BYA B YA B Y断开断开 断开断开 不亮不亮断开断开 闭合闭合 不亮不亮闭合闭合 断开断开 不亮不亮闭合闭合 闭合闭合 灯亮灯亮与运算功能表与运算功能表1 1 表示开关闭合，灯亮表示开关闭合，灯亮0 0 表示开关断开，灯不亮表示开关断开，灯不亮A B YA B Y0 0 00 0 00 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 01 1 1 1 1 1与
3、运算真值表与运算真值表 与运算符，也有用 “”、 “”、“ 分配律=A +A(B+C)+BC ; 分配律,重叠律=A(1+B+C)+BC ; 分配律=A 1+BC ; 0-1律=A+BC ; 0-1律 =左边 证明: 右边=AA+AB+AC+BC ; 分配律=A(A+B+C)+BC ; 分配律 =A+BC ; 吸收律例：用真值表证明反演律 0 00 11 01 101111000110010101000 证明:=AB+AC+ABC+ABC=AB+AC+(A+A)BC证明:左边= AB+AC+BC=AB+AC=AB(1+C)+AC(1+B)例：证明冗余律成立；分配律；分配律；0-1律= 右边练习
4、：证明成立。证明:二、逻辑代数的基本规则 1. 代入规则：任何一个含有某变量的等式，如果等式中所 有出现此变量变量的位置均代之以一个逻辑函数式， 则此等式依然成立。例：A B= A+BBC替代B得 由此反演律能推广到n个变量：利用反演律2. 反演规则：对于任意一个逻辑函数式 F，做如下处理：运算符“.”与“+”互换,“”与“”互换;常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量。那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式 。注意：注意： 遵守遵守“ “括号、乘、加括号、乘、加” ”（即（即括号与或括号与或）的运算优先）的运算优先 次序。次序。必要时适当地加入括号。
5、非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变 不属于单个变量上的非号处理不属于单个变量上的非号处理两种办法两种办法：法法1 1：利用反演规则直接得到：利用反演规则直接得到，求，求 。例：例：法法2 2：利用反演律：利用反演律3. 对偶规则：对于任意一个逻辑函数式 F，做如下处理：运算符“.”与“+”互换,“”与“”互换；常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；那么得到的新函数式称为原函数式F的对偶式 F。对偶规则: 若两逻辑式相等，则它们对应的对偶式也相等。即 若 F1 = F2 , 则 F1= F2。注意：注意： 运算顺序不变；只变换运算符和常量，其变量是
6、不变的。如：逻辑函数及其描述方法逻辑函数及其描述方法逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随自变量的变化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分别表示某一事件发生的条件和结果，那么该事件的因果关系就可以 用逻辑函数来描述。 数字电路的输入、输出量一般用高、低电平来表示，高、低电平也可以用二值逻辑1和0来表示。同时数字电路的输出与输入之间的关系是一种因果关系， 因此它可以用逻辑函数来描述，并称为逻辑电路。对于任何一个电路，若输入逻 辑变量A、 B、 C、 的取值确定后，其输出逻辑变量F的值也被惟一地确定了，则可以称F是A、 B、 C、 的逻辑函数， 并记为 逻辑函数逻辑函数的描述B YAC一、
7、真值表描述：A A、B B、C C - - 输入变量输入变量Y Y -输出变量输出变量1 1 表示开关闭合，灯亮表示开关闭合，灯亮0 0 表示开关断开，灯不亮表示开关断开，灯不亮A B CY0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 1 0 1 0 1二、逻辑式描述：1.一般形式：任何一个逻辑函数式都可以通过逻辑变换写成以下五种形式： 与或式 或与式 与非与非式 或非或非式 与或非式 分析得： 2.逻辑式两种标准形式1）最小项之和式标准与或式在n变量逻辑函数中，由所有n个变量以原变量或反 变量的形式出现一次而组成的乘积项（与项）。最
8、小项（Minterm）n变量逻辑函数的最小项有2n个。最小项通常用符号mi来 表示。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当 变量顺序确定后，按顺序排列成一个二进制数，则与这个二 进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。在一个与或逻辑式中，若所有的乘积项均为最小项， 则该逻辑式称为最小项之和式。A B CA B Cmm0 0mm1 1mm2 2mm3 3mm4 4mm5 5mm6 6mm7 70 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 70 0 00 0 0 0 0 10 0 1 0 1 00 1 0 0 1 10 1 1 1 0 01 0 0 1 0
9、11 0 1 1 1 01 1 0 1 1 11 1 1编号编号对应的十对应的十 进制数进制数使使最小项为最小项为1 1的变量取值的变量取值最小项最小项三变量逻辑函数的最小项只有一种输入组合使对应的最小项为1，而其他的组合都使它为0。例：写出 的最小项之和式。最小项之和式为：解：2）最大项之积式标准或与式在n变量逻辑函数中，由所有n个变量以原变量或反 变量的形式出现一次而组成的或项（和项）。最大项（Maxterm）n变量逻辑函数的最大项有2n个。最大项通常用符号Mi来 表示。下标i的确定：把最大项中的原变量记为0，反变量记为1，当 变量顺序确定后，按顺序排列成一个二进制数，则与这个二 进制数相
10、对应的十进制数，就是这个最大项的下标i。在一个或与逻辑式中，若所有的或项均为最大项，则 该逻辑式称为最大项之积式。A B CA B C MM0 0MM1 1MM2 2MM3 3MM4 4MM5 5MM6 6MM7 70 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 70 0 00 0 0 0 0 10 0 1 0 1 00 1 0 0 1 10 1 1 1 0 01 0 0 1 0 11 0 1 1 1 01 1 0 1 1 11 1 1编号编号对应的十对应的十 进制数进制数使使最大项为最大项为0 0的变量取值的变量取值最大项最大项三变量逻辑函数的最大项只有一种输入组合使对应的最大项
11、为0，而其他的组合都使它为1。3）最小项和最大项的性质 n变量的全部最小项之和恒为1， 全部最大项的之积 恒为0。 任意两个最小项之积恒为0，任意两个最大项之和恒等 于1 。 n变量的每一个最小（大）项有n个相邻项（相邻项 是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均 相同，又称为逻辑相邻项）。若若给定给定则则4）最小项和最大项的关系互为反函数则则求反函数求对偶式求最大项之积式例：已知 利用最小项表达式求其反函数和对偶式。解：例：写出 的最大项之积式。解：已知则三、卡诺图描述：将将n n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有 逻辑相邻逻辑相
12、邻性的最小项在性的最小项在几何位置上也相邻几何位置上也相邻地排列起来，所地排列起来，所 得到的图形叫做得到的图形叫做n n变量的变量的卡诺图（卡诺图（KarnaughKarnaugh Map Map）。1.卡诺图的构成A B 0 0 0 1 1 0 1 1m0m1m2m3AABBABAB1010m0 m1m2 m3miABABABAB10100 12 3二 变 量 K 图 建立多于二变量的卡诺图，则每增加一个逻辑变量就以原卡诺图的右边线（或底线）为对称轴作一对称图形，对称轴左面（或上面）原数字 前增加一个0，对称轴右面（或下面）原数字前增加一个1。卡诺图是上下，左右闭合的图形。ABC01000
13、11110m0 m1 m2 m3m4 m5 m6 m700011110 00 01111001 2 3 4 5 6 712 13 14 158 9 10 11ABCDABC01000111100 1 2 3456 7几何相邻： 一是相接，即紧挨着； 二是相对，即任意一行或一列的两端； 三是相重，即对折起来位置重合。三 变 量 K 图四 变 量 K 图2.卡诺图描述逻辑函数 给出真值表 将真值表的每一行的取值填入卡诺图即可。填入Y1的 项即可。 A B CY 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 1 0 1 0 1例：ABC01
14、000111100 0 0 1010 1ABC010001111011 1 给出逻辑函数的最小项之和式标准与或式 将逻辑函数的最小项在卡诺图上相应的方格中填1； 其余的方格填0(或不填)。 任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填1的那些最小项之和。 例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数ABC01000111101 1 1 100011110 00 0111101 1 1 11 11 1 ABCD解： 给出逻辑函数一般与或式 确定使每个与项为1的所有输入变量取值，并在卡诺图上对 应方格填1； 其余的方格填0(或不填)。 也可化为标准与或式，再填入。 例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数ABC01000111101 111 1解：A：当ABC=1(表示可以为0，也可以 为1)时该与项为1，在卡诺图上对应四个 方格(m4，m5，m6，m7)处填1。 ：当ABC=10时该与项为1，在卡 诺图上对应两个方格(m2，m6)处填1。00011110 00 0111101 1 11 11 111 1 ABCDD ： 当ABCD=
