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1、上次课程回顾 弦的横向、杆的纵向、轴的扭转振动波动方程波动方程其中： C 、D 、 、 由边界条件和运动的初始条件确定。第4章 连续弹性体的振动4.4 梁的弯曲振动 梁挠曲线的微分方程假设梁具有对称平面，且在弯曲振动中梁的轴线（以下称为挠曲线）始终保持在这一对称平面内。取梁未变形时的轴线 方向为x轴（向右为正），取对称面内与x轴垂直的方向为 y轴（向上为正），转角逆时针为正。上述方程是等截面梁在集度为q的分布力作用下的挠曲线微分方程 除了理想弹性体与微幅振动的假设外，还假设梁的长度与 截面高度之比是相当大的。梁挠曲线的微分方程可表示为又因为梁在弯曲振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为 则将上
2、式代入上面方程，即得等截面梁自由弯曲振动的微分方程 的普遍形式上述方程是4阶偏微分方程，也需根据梁的支承情形附加适当 的边界条件求解。所以，在数学上这类问题常称为偏微分方程 的边值问题。 应用达朗伯原理，在梁上加以分布的惯性力为 自由弯曲振动的微分方程其中采用分离变量法。假设弯曲振动方程的解可表示为 将上式代入方程弯曲振动方程，得 弯曲振动的微分方程的解要使上式对于任何x与t值都能成立，必须使二者都等 于同一个常数，和前面关于波动方程的讨论一样，只 有当这一常数取负值时，才有对应于振动运动的解。故可以把这一常数记为2 。 于是有第一个方程的通解为 第二个方程是一个4阶常系数线性常微分方程，它的
3、特 征方程为为固有频率其特征值为 故上述第二个方程的通解为 引用双曲函数，可将上述通解改写成其中 为积分常数。 因此，得到主振动的表达式为 性质：其中 根据边界条件和初始条件确定。 常见的边界条件在具体考察各种支承情形下梁弯曲振动固有频率 与振型函数之前，先将边界条件中要用到的Y(x)的各阶导导数列出如下： 简支梁情形简支梁的边界条件为有 频率方程为时 时 即因此有：代入B=D=0 即特征值为 与此相应的固有频率值为 而对应的振型函数为与 对应的主振动可表示为 简支梁的自由振动则可表示为各个主振动的叠加，即 固支梁的边界条件为 固支梁情形若上式对 有非零解，它的系数行列式必须为零。即 化简后，
4、可得特征方程为可以用数值法和图解法求这一超越方程最低几个特征根为4.7307.85310.99614.13717.279其中，对应于 的各个特征根可足够准确地取为梁的固有频率相应地为回代特征方程可求C与D比值为：故与 相应的各个振型函数可取为其中前三阶振型函数如图所示 固支梁的前三阶振型函数故与 相应的各个主振动可取为取悬臂梁的固定端作为坐标系xOy的原点。悬臂梁的 边界条件可表示为 悬臂梁情形可得 这一方程关于 具有非零解，可得它就是悬臂梁弯曲振动的特征方程。时, 时, 它的最低几个特征根可借数字解求得为1.8754.6947.85510.99614.137其中，对应于 的各个特征根可足够准
5、确地取为悬臂梁的固有频率为其基频为由特征方程可确定系数 的比值：故与 相应的各个振型函数可取为 其中前三阶振型函数如图所示。 悬臂梁的前三阶振型函数物理参数挠曲线挠度 弹性模量 截面惯量矩 梁密度， 梁长运动方程通解固有频率表1类比了六种不同边界条件下均匀梁弯曲的固有频率与振型函数 。这些振型函数值已有表可查。表1 均匀梁的弯曲振动边界条件固支梁自由梁悬臂梁特征方程特征根4.730 7.853 10.9964.730 7.853 10.996（零频 率除外）1.875 4.694 7.855振型函数续表1 均匀梁的弯曲振动边界条件简支梁铰支-固支梁铰支-自由梁特征方程特征根 3.927 7.0
6、69 10.2103.927 7.069 10.210 （零频率除外）振型函数 注续表1 均匀梁的弯曲振动例 设在悬臂梁的自由端加上横向弹性支承，其弹簧刚度系数为 k，如图。试导出系统的频率方程。并讨论两种极端情况。解：取固支端作为坐标系 的原点。由固定端的边界条件，有在弹性支承端，弯矩为零，而剪力就是弹簧力。故弹性支承端 的边界条件为（a） 由此可得（b）方程（b）有非零解可得 （c）上式即为所求的频率方程。 注意到，当 时上式是悬臂梁的频率方程。 当 ，弹性支承端就相当于铰支端。即为一端固支一端 铰支情形下的梁的弯曲振动频率方程。 解：和上例一样，取固支端作为坐标系原点。假设附加质量可 看
7、作质点，那么在梁的 x=l 截面处弯矩为零，而剪力就是质量m的惯性力。梁附加质量端的边界条件为例 设在悬臂梁的自由端附加集中质量m，如图，试求其频率方程。（a）即有（b）令 ，即得所求频率方程（c）当 时，质量端就相当于铰支端。即为一端固支一端 铰支情形下的梁的弯曲振动频率方程。 4.5 主振型的正交性对于等截面的均匀梁，其截面面积， 密度 刚度分布都是常数时，有对于一般情况，各阶主振型正交，表明各阶主振动之间没有耦合， 各主振动之间是独立无关的，它们之间没有能量交换 ，都可以采用解耦分析法（模态叠加法），简化为类 似单自由度系统那样的微分方程来求解。作业P124 4.4P124 4.4， 4.54.5
