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1、频率域图像增强北京化工大学W.X.J频域增强法平滑的频率域滤波器频率域锐化滤波器同态滤波器傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换：非周期函数可以用正弦和/或余弦乘以加权函 数的积分来表示。傅里叶反变换：函数特征可以通过反变换来重建，不丢失任 何信息。一维傅里叶变换及其反变换二维DFT及其反变换频率域滤波空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系一维傅里叶变换及其反变换设 x：空间变量（实变量）f(x)：实变量x的连续函数u：频率变量（实变量）F(u)：频率函数（有实部和虚部）傅里叶正变换为：若已知F(u), 则利用傅里叶反变换，可求得 f(x)离散形式：欧拉公式：代入傅里叶正变换得出：其中，(u) 覆盖的
2、域（的值）称为频率域。每一个(u) 称为频率分量。频率域的概念：一个实函数的傅里叶变换通常是复数，即相角或相位谱：幅度或频率谱：极坐标表示：功率谱：一维傅里叶变换及其反变换例：两个简单一维函数的傅里叶谱、当曲线下的面积 在x域加倍时，频率谱的高度也加倍 。、当函数的长度加 倍时，相同间隔下 频谱中零点的数量 也加倍。当处理离散变量时，f(x)被理解为：F(u)被理解为：x和u有如下关系：函数定义: 若f(x,y)是连续图像函数正变换 :反变换 :变换对 :二维DFT及其反变换（2D FT）定义: 若f(x,y)是离散图像函数（尺寸M*N）正变换 :反变换 :一般F(u,v)是复函数,即:幅度谱
3、 :相位谱 :功率谱：二维DFT及其反变换通常在进行傅里叶变换之前用 乘以输入图像:原点为频率坐标下为偶数二维DFT及其反变换f(x,y)的平均值，也称为频率谱的直流成分 。二维DFT及其反变换如果f(x,y)是实函数,它的傅里叶变换必然是对称的。空间域和频率域采样点之间的关系如下：例：一个简单二维函数的中心谱幅值谱幅值重构图像相位重构图像相位谱频率域滤波频率域的基本性质：v变化最慢的频率成分（原点）对应图像的平均灰度级。v低频对应着图像的慢变化分量。v较高的频率对应着图像中变化较快的灰度级。频率域是傅里叶变换和频率变量(u,v)定义的空间。例：一幅集成电路的扫描电子显微镜图像 及其傅里叶谱特
4、征： 大约45度的强边缘； 两个因热感应不足的白色氧 化突起。频率域滤波步骤：1. 用(-1)x+y乘以输入图像来进行中心变换；2. 由(1)计算图像的DFT，即F(u,v)；3. 用滤波器函数H(u,v)乘以F(u,v);4. 计算(3)中结果的反DFT;5. 得到(4)中结果的实部；6. 用(-1)x+y乘以(5)中的结果。频率域滤波特殊的滤波器假定希望图像的平均值为零：滤波器为：也称为“陷波滤波器”特殊的滤波器图像经“陷波滤波器”处理后的结果标定：负值为零，其他值按比例增加低通滤波高通滤波频率域滤波该滤波器通过对高通滤波函数加上一个滤 波器高度一半的常数加以改进空间域滤波和频率域滤波之间
5、的对应 关系将图像的模板在图像中逐像素移动，并对每个 像素进行指定数量计算的过程就是卷积过程。卷积：1、翻转；2、移动；3、乘积； 4、求和空间域滤波和频率域滤波之间的对应 关系卷积定理：空间域滤波和频率域滤波之间的对应 关系频率域滤波器：空间域滤波器：频率域滤波器：空间域滤波器：空间域滤波和频率域滤波之间的对应 关系二、平滑的频率域滤波器灰度图像中的边缘和尖锐变化主要处于傅里叶变换的 高频部分。平滑可以通过衰减指定图像傅里叶变换中高频成分的 范围来实现。频率域滤波模型: F(u,v)为含有噪声原图像的傅里叶变换H(u,v)为低通滤波器的传递函数G(u,v)为经低通滤波后输出图像的傅里叶变换二
6、、平滑的频率域滤波器1、理想低通滤波器2、巴特沃思低通滤波器3、高斯低通滤波器、理想低通滤波器(ILPF) 理想低通滤波器作用D0半径内的频率分量无损通过，圆外的频率分量会 被滤除若滤除的高频分量中含有大量的边缘信息，会发生 图像边缘模糊现象。标准截止频率：是通过计算半径为r的圆包围的图像功率 的百分比决定的。半径为r的圆包含a%的功率在谱中叠加的圆周分别有5，15，30，80，230像素的半 径。 这些圆周包围的图像功率的百分比分别为92.0%，94.6% ，96.4%，98%，99.5%。 、 理 想 低 通 滤 波 器5153080230频域：空间域：、巴特沃思低通滤波器(BLPF)n阶
7、巴特沃思低通滤波器的传递函数为：变换函数在通带与被滤除的频率之间没有明显的截断 、 巴 特 沃 思 低 通 滤 波 器5153080230n=2不同阶数、截止频率为5个像素的BLPF的空间表示12520、高斯低通滤波器（GLPF） 有更加平滑的过渡带，平滑后的图像没有振铃现象 与BLPF相比，衰减更快，经过GLPF滤波的图像比 BLPF处理的图象更模糊一些 、 高 斯 低 通 滤 波 器515 3080230、低通滤波的其它例子字符识别应用低分辨率文本用GLPF滤波的结果D0=80、低通滤波的其它例子印刷和出版业用GLPF滤波的结果D0=100， D0=80、低通滤波的其它例子卫星和航空图像用
8、GLPF滤波的结果D0=30， D0=10三、频率域锐化滤波器高通滤波与低通滤波的作用相反，它使高频分量顺 利通过，而使低频分量受到削弱。 与低通滤波器相对应，频率域内常用的高通滤波器 有种：1. 理想高通滤波器 2. 巴特沃斯高通滤波器 3. 高斯高通滤波器 滤波器的空间表示：理想巴特沃思高斯、理想高通滤波器(IHPF)、理想高通滤波器D0=15D0=80D0=30、巴特沃思高通滤波器(BHPF)n阶且截止频率距原点的距离为D0的BHPF的传递函数：、巴特沃思高通滤波器2阶BHPFD0=15D0=80D0=30、高斯高通滤波器截止频率距原点的距离为D0的GHPF的传递函数：、高斯高通滤波器D
9、0=15D0=80D0=30、频率域的拉普拉斯算子因为:频率域的拉普拉斯算子可以由如下滤波器实现:滤波器中心化:空间域拉普拉斯算子过滤后的图像可由下式计算:傅里叶变换对:频率域拉 普拉斯的 三维图图像表示经傅里叶 反变换得 到空间域 的拉普拉 斯、频率域的拉普拉斯算子原始图像减去拉普拉斯算子部分，形成增强图像用单个滤波器完成全部操作：、反锐化模板、高频提升滤波和 高频加强滤波反锐化模板：从一幅图像减去其自身模糊图像而生成的锐化图像。高频提升滤波：、反锐化模板、高频提升滤波和 高频加强滤波反锐化模板在频率域可由混合滤波器直接执行：类似地，高频提升滤波的混合滤波器、例：高频提升滤波A=2A=2.7
10、、高频加强滤波高频增强：在高通滤波器函数前简单地乘以一个常数，再增加一个偏移以便使零频率不被滤掉。a的典型值在0.25到0.5之间，b的典型值在1.5到2.0之间。当a=A-1且b=1时，高频加强转换为高频提升滤波。、例：高频加强滤波二阶BHPF高频加强 a=0.5 b=2.0直方图均衡四、同态滤波器照射反射模型：i(x,y)：照射分量空间域的慢变化为特征 r(x,y)：反射分量往往引起突变，取决于物体的 特性 图像的傅里叶变换的低频部分与照射分量有关 ； 高频部分与反射分量有关。令：将照射分量和反射分量分开滤波函数H(u,v)处理Z(u,v):取傅里叶反变换，便可得空间域输出s(x, y)：
11、四、同态滤波器图像增强中的同态滤波四、同态滤波器四、例：同态滤波器二维傅里叶变换的性质 . 平移性空间域平移 ：频域中平移 ：移中性 ：. 平移性二维傅里叶变换的性质 2. 分配性加法分配性：不具有乘法分配性：二维傅里叶变换的性质 . 比例变换性当变量x，y，u，v都用极坐标表示时，即：则：若：二维傅里叶变换的性质 .旋转性原图像 幅度谱图像原图像旋转45 幅度谱图像也旋转45 例：旋转性二维傅里叶变换的性质. 周期性和对称性傅里叶变换的周期性：反变换也是周期的：傅里叶变换的共轭对称：频谱的对称性：. 周期性和对称性二维傅里叶变换的性质 6. 可分性二维离散傅里叶变换过程图示水平方向垂直方向用
12、前向变换算法计算傅里叶反变换上式取复共轭，并用M同时除以两边用前向变换算法计算傅里叶反变换二维情况下：关 于 周 期 性 的 讨 论两 个 离 散 函 数 的 卷 积考 虑 周 期 性关于周期性的讨论周期延拓：用扩展函数执行卷积的结果二维函数的周期延拓二维函数的周期延拓二维函数的周期延拓在空间域延拓的 低通滤波器卷积定义：卷积理论 ：卷积和相关性理论相关定理:卷积和相关性理论相关定义：卷积和相关性理论n卷积是空间域滤波和频率域滤波之间的纽 带；n相关的作用是匹配。卷积和相关性理论自相关：例：图像相关快速傅里叶变换基于“逐次倍乘法”1. 求移中的傅里叶变换 ：2. 求幅度谱：3. 求幅度谱的对数函数：步骤 :4. 显示D(u,v)若D(u,v)很小或很大，则将其线性扩展或压缩到0-255二维傅里叶幅度谱的显示
