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1、理 数主编数学 理科第第1010专题专题 高考中填空题的解题方法高考中填空题的解题方法填空题解题 方法训练题型示例引言总结填空题是将一个数学真命题,写成其中缺少一些语句的不完整形式,要求学生在指定的空位上,将缺少的语句填写清楚、准确.它是一个不完整的陈述句形式,填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等.引言总结题型示例填空题解题 方法训练数学填空题的特点填空题缺少选择的信息,故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上.但填空题既不用说明理由,又无需书写过程,因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题.填空题大多能在课本中找到原型和背景,故可以化归为我们熟知的题目或基本题型.填空题不
2、需过程,不设中间分值,更易失分,因而在解答过程中应力求准确无误.填空题虽题小,但跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地结合一些问题,突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力,突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力.要想又快又准地答好填空题,除直接推理计算外,还要讲究一些解题策略,尽量避开常规解法.引言总结题型示例填空题解题 方法训练一是定量型,要求考生填写数值、数集或数量关系,如:方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比,缺少选择的信息,所以高考题中多数是以定量型问题出现.数学填空题的
3、类型根据填空时所填写的内容形式,可以将填空题分成两种类型:二是定性型,要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质,如:给定二次曲线的焦点坐标、离心率等等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.引言总结题型示例填空题解题 方法训练解答填空题时,由于不反映过程,只要求结果,故对正确性的要求比解答题更高、更严格.考试说明中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到:快运算要快,力戒小题大作;稳变形要稳,不可操之过急;全答案要全,力避残缺不齐;活解题要活,不要生搬硬套;细审题要细,不能粗心大意.解数学填空题的原则引言总结题型示例填空题解题 方法训
4、练方法一直接求解法常规填空题解法 所谓直接求解法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、定义、性质、定理、公式等,经过变形、推理、计算、判断得出结论的一种解题方法.它是解填空题的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空题,要善于通过现象看本质,自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.引言总结题型示例填空题解题 方法训练例1 (2011年全国新课标卷)在ABC中,B=60 0,AC= ,则AB+2BC的最大值为 .【分析】先利用正弦定理将AB,BC表示出来,再转化成三角函数求最值的问题求解.【答案】2 【解析】由正弦定理可得 = = =2得,AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin C
5、+4sin (120 0-C)=2sin C+2 cos C+2sin C=4sin C+2 cos C2 .引言总结题型示例填空题解题 方法训练例2 已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆,AB为圆M与圆N的公共弦,AB=4.若OM=ON=3,则两圆圆心的距离MN= .【分析】设E为AB中点,根据球的截面性质,不难求出OE,在RtMEO中,再运用面积相等即可.【答案】3在RtMEO中,由面积相等可得,MN=2 =3.【解析】设E为AB的中点,则O、E、M、N四点共面,如图,AB=4,OE=2 ,ME= ,由球的截面性质,有OMME,ONNE,OM=ON=3,MEO与NEO全等, MN
6、被OE垂直平分,引言总结题型示例填空题解题 方法训练当填空题的题目提供的信息暗示答案唯一或其值为定值时,只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之,即可得到结论.在运用这种方法时注意化抽象为具体,化整体为局部,化参量为常量,化较弱条件为较强条件等等.通过对“特殊”的思考,启发思维,达到对“一般”的解决.方法二特例求解法引言总结题型示例填空题解题 方法训练例3 已知等差数列an的公差d0,且a1,a3,a9成等比数列,则 的值是 .【分析】如果能举出一个已知的数列满足a1,a3,a9成等比数列,那么各项均可求出,那么所求的值也就可
7、求出.【解析】a1,a3,a9的下标成等比数列,故可令an=n,又易知它满足题设条件, 于是 = .【答案】 引言总结题型示例填空题解题 方法训练例4 设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,则 = .【分析】本题隐含所求的值为定值,即与直线的倾斜角无关,故可取特殊直线.【解析】本题的隐含条件是 的值为定值,即与直线的倾斜角无关,取过焦点的直线为x= ,求出交点A( ,1),B( ,-1),计算可得 =- .【答案】- 引言总结题型示例填空题解题 方法训练例5 已知函数f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,yR),则f(2010)
8、= .【分析】因为4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),若能联想到三角函数,则会很简单.【解析】因为4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,yR),可取f(x)= cos x,由f(1)= cos = = ,所以f(x)= cos x,从而f(2010)= cos( 2010)= cos 670= .【答案】引言总结题型示例填空题解题 方法训练借助图形的直观性,通过数形结合的方法,迅速作出判断的方法称为图象法.文氏图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形.数形结合的方法应用广泛,常见的应用如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域、最值问题中,在求向量和三
9、角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程.要注意培养这种意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的视野.方法三数形结合法引言总结题型示例填空题解题 方法训练例6 已知向量a=(cos ,sin ),向量b=( ,-1),则|2a-b|的最大值是 .【分析】由a=(cos ,sin )知向量a的终点在单位圆上,故可利用数形结合.【答案】4【解析】向量a=(cos ,sin ),向量b=( ,-1),|2a-b|的最大值的几何意义是求点A(2cos ,2sin )与点B( ,-1)的距离的最大值.而点A(2cos ,2sin )在以原
10、点为圆心,2为半径的圆上,当OA与OB反向时,距离最大.故填4.引言总结题型示例填空题解题 方法训练例7 设变量x,y满足|x|+|y|1,则x+2y的最大值为 ,最小值为 .【分析】不等式|x|+|y|1在坐标平面内表示一个平面区域,令x+2y=u,它就是一条变动的直线,那么可以把这个最值问题利用图形来解决了.【解析】如图先画出不等式|x|+|y|1表示的平面区域,平移目标函数线易知当直线x+2y=u经过点B,D时分别对应u的最小值和最大值,所以umax=2,umin=-2.【答案】2 -2引言总结题型示例填空题解题 方法训练【分析】f(x)=k有两个不同的实根,即函数f(x)的图象与y=k
11、有两个不同的交点,因此只需在同一坐标系中作出两个函数的图象即可.例8 (2011年北京)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是 .【解析】分别作出y=f(x)与y=k的函数图象如图所示,关于x的方程f(x)=k有两个不同的实数根,则函数y=f(x)与y=k的图象有两个交点,所以k(0,1).【答案】(0,1)引言总结题型示例填空题解题 方法训练等价转化就是把未知解的问题转化到在已知知识范围内可解的问题.通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.在转化过程中,一定要注意转化前后的等价性,如出现不等价转化,则需
12、附加约束条件.方法四等价转化法引言总结题型示例填空题解题 方法训练例9 已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=1,f(x)1,则f(x)x的解集为 .【分析】先可转化为求不等式f(x)-x0的解,而已知f(x)1,化为f(x)-10,考虑到f(x)-1是f(x)-x的导数,因此问题转化成了利用导数知识判断函数单调性,然后加以解决.【解析】记F(x)=f(x)-x,则F(x)=f(x)-10,则F(x)在R上为增函数,而F(1)=f(1)-1=0,那么f(x)x的解集,即F(x)F(1)的解集,易知x1.【答案】(1,+)引言总结题型示例填空题解题 方法训练例10 已知两点M(-5,0
13、),N(5,0),给出下列直线方程:5x-3y=0;5x-3y-36=0;x-y=0;4x-y+5=0.在直线上存在点P,满足|MP|=|NP|+6的所有直线方程的序号是 .【分析】点P满足|MP|-|NP|=6,那么点P的轨迹是双曲线的一支,那么问题转化为直线与双曲线的一支有交点,就成了我们熟悉的问题了.【解析】由|MP|=|NP|+6可知,点P的轨迹是以M(-5,0),N(5,0)为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,其方程为 - =1(x0).本题实质上可转化为考察所给直线与双曲线的右支有无交点的问题,结合图形判断,易得直线与双曲线的右支有交点.引言总结题型示例填空题解题 方法训练【答案】引
14、言总结题型示例填空题解题 方法训练方法五构造法根据题目的特征,对问题进行深入分析,找出“已知”与“所求”之间的联系纽带,可构造与之相应的合适函数、图形、向量、复数、数列等,使原问题得到解决.构造需要以足够的知识经验为基础,较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提,使解题另辟蹊径、水到渠成.引言总结题型示例填空题解题 方法训练例11 已知a、b、c0,ab=2,a2+b2+c2=6,则bc+ca的最大值为 .【分析】对于ab+bc+ca,我们可以构造向量(a,b,c)(b,c,a)=ab+bc+ca,再利用向量的有关知识可解答出.【解析】构造两个向量m=(a,b,c),n=(b,c,a),由
15、于mn=|m|n|cos |m|n|(为向量m与n的夹角),故可得:ab+bc+ca =a2+b2+c2=6,当且仅当m与n同向时,即a=b=c,而ab=2,故当且仅当a=b=c= 时取等号,所以bc+ca的最大值为4.【答案】4引言总结题型示例填空题解题 方法训练【分析】由ABC中,a=10,c-b=8,联想到构造双曲线,结合平面几何知识,那么方法更为简单.例12 已知ABC中,a=10,c-b=8,则 = .【解析】以BC所在直线为x轴,BC中点为坐标原点,建立如图直角坐标系,由|BC|=10,|AB|-|AC|=8,则点A(x,y)在双曲线 - =1的右支上.作ABC内切圆,圆心O,三个
16、切点分别为D、E、F,BD+DC=10,BD-DC=AB-AC=8, BD=9,DC=1. = = = .【答案】 引言总结题型示例填空题解题 方法训练例13 设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x0都有f(x)ax成立,则实数a的取值范围为 .【分析】构造函数g(x)=f(x)-ax=(x+1)ln(x+1)-ax,讨论g(x)的单调性,然后加以解决.【解析】令g(x)=(1+x)ln(1+x)-ax,对函数g(x)求导数g(x)=ln(1+x)+1-a,令g(x)=0,解得x=ea-1-1.当a1时,对所有x0,g(x)0,所以g(x)在0,+)上是增函数,又g(0)=0,所以对x0,有g(x)0,引
