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1、1.2 通量与散度 1 矢量场与矢量线 在确定空间区域上的每一点 有确定矢量与对应，则称该空 间区域上定义了一个矢量场。为了同时描述矢量场的方向和 数值，除了直接用矢量的数值 和方向来表示矢量场的大小以 外，用矢量线来形象的描述矢 量场分布。矢量线是这样的曲线，其上每 一点的切线方向代表了该点矢 量场的方向。 矢量线的疏密表征矢量场 的大小； 矢量线上每点的切向代表 该处矢量场的方向；1 矢量场与矢量线 通量 2 散度（来源、意义、计算） 3 高斯定理矢量线矢量线能够描述矢量场在空间的 方向，但不能够直观(定量)描述 矢量场的大小。矢量线方程例 设原点处有一点电荷，求线方程：2 矢量场的通量
2、为了克服矢量线不能定量描 述矢量场的大小的问题，引 入通量。在场区域的某点选 取面元，穿过该面元矢量线 的总数称为矢量场对于面积元的通量。（标量） 矢量场对于曲面s的通量为曲面s上所有 小面积元通量的叠加： 称为通量 面密度，矢量线又称通量线代表穿入与穿出代数和。穿出穿入通量的计算（直角坐标系）3 矢量场的散度物理上的场 (无论是矢量场，还是标量场）都是相应的源作用的结果。矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果肯定与闭合曲面内有无产生矢量场的源直接相关。使闭合曲面通量不为零的激励源为通量源。矢量场对闭合曲面的通量与闭合曲面内的通量源之间存在某种确定的关系。闭合曲面通量与源的关系 = 0 (无源)
3、 0 (有正源)表示通过闭合曲面有净的矢量线流出表示有净的矢量线流入表示流入和流出闭合曲面的矢量线相等或没有矢量线流入、流出闭合曲面 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭 合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的 通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到 这一关系：称为矢量场的散度（标量）。因此散度是矢量通过包含该点的任意闭合 小曲面的通量与曲面元体积之比的极限 散度(divergence)根据通量的物理意义，矢量场相对于小体积元的通量与体积元内的通 量源成正比：其中 为通量源密度。于是有：为比例常数，一般由实验获得。( 正源) 负源)( 无源）散度的说明1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性，矢量 场的散度是一个标量，值为源密度。2) 矢量场的散度是空间坐标的函数，矢量场的散度值表 征空间中通量源的密度。3)若散度不为零，则该矢量场为有源场；若散度处处为零，则该矢量场称为无源场。4.散度的计算（直角坐标）哈密顿算子式中5 Gauss（散度）定理从散度的定义出发，得到矢量场在 空间任意闭合曲面的通量等于该闭 合曲面所包含体积中矢量场散度的 积分。称为矢量场的Gauss定理。 意义：体积分面积分(数学)内部场边界场(物理)图0.3.3 散度定理每个小体积元：整个体积求和：
