理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动

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1、第六章 理想不可压缩流体的平面 势流和旋涡运动1 流体微团运动法分析 2 速度环量和漩涡强度 3 速度势和流函数 5 基本的平面势流 6 有势流动叠加 7 理想流体的漩涡运动理想流体的流动分有旋运动无旋运动位势流动：无旋运动由于存在速度势和流函数， 故又称位势流。61 流体微团运动分析流体微团的运动：平移 转动 变形转动 平移变形角变形线变形一.平移 如图：在流场中取一四边形流体a、b、c、 d ，经过dt时间后该四边形移到 a、b、c d，形状、大小没有变化，仅是平移了一 段距离。各点的速度大小和方向没有变化 ，即没有变形和转动。xabcddxdxdydybacdy二.线变形在t时刻a、b、

2、c、d各点的速度如图，由 于各点的速度不同，经过t时刻后由b点 的 和d点 的作用下，会产生线变形 。 xabcdyuvbacd定义：单位长度、单位时间内线变形称 为线变形率，用 表示。由定义有：三个方向 的线变形讨论b点的 和d点的 作用 ，经时间dt 后，由于这两个速度增量，使原图形发生角 变形。 三.角变形bac dabcdyuv定义：单位时间内ab、cd转过的平均角度 称角变形速度，用 表示。由定义有：为三个平面 内的角变形四.转动： 假设d点和c点的速度增量在x方向是负的，则经 过dt时间后，a、b、c、d绕a点转过一个角度dbac abcduv图中定义：单位时间内转过的平均角度为旋

3、 转角速度，以表示。代入和有或当 称无旋流或势流。 称有旋流或涡流。流体运动是否有旋不能只看其运动轨 迹，而要看它是否绕自身轴转动。例：流动是否存在？是否有旋？例：流动是否存在？是否有旋？例：如图所示，流体各个微团以速度 解：平行于x轴作直线 流动，试确定流动是否有旋。有旋运动。2 速度环量和旋涡强度一.涡线、涡管1.涡线：与流线概念相似，涡线也是一条曲 线，在给定瞬时 t，这条曲线每一点的切线 与该点流体微团的角速度 的方向重合。由涡线定义得涡线方程：2.涡管在给定瞬时，在涡量场中取一不是涡线 得封闭曲线，通过曲线上每点做涡线，这 些涡线形成一个管状表面，称为涡管，涡 管中充满着做旋转运动的

4、流体。沿涡管长 度方向旋转角速度 是变化的。二.漩涡强度：在涡量场中任取一微元面积 ， 上流体质点的旋转角速度向量为 ， 为 的法线方向，微元面积上的漩涡强 度用 表示 定义：A对整个表面积A积分,总的漩涡强度为：当 在A上均布,则有：称为涡通量漩涡强度 等于2倍的涡通量。三、速度环量定义：假定某一瞬时，流场中每一点的速 度是已知的，AB曲线上任一点的速度为 ，在该曲线上取一微元段为沿微元线段 上的环量。与 之间的夹角为，则称AB曲线AB上的环量为：若曲线AB是封闭曲线，则环量为：L将矢量 、 分别 表示：故对封闭周线 L的环量为：环量是一个标量，它的正负取决 于速度方与线积分的方向。当速度方

5、向与线积分方向同向时取正， 反向时取负。若是封闭周线，逆时针 为正，顺时针为负。例：不可压缩流体平面流动的 速度分布为 ， 求绕圆 的速度环量。解：积分路径在圆上，有四、斯托克斯定理斯托克斯定理：任意面积A上的旋 涡强度 ，等于该面积的边界L上的速度 环量。Stokes law 将对涡量的研究转化为对速度 环量的研究。因为线积分比面积分要简 单，且速度场比涡量场容易测得。1.微元面积的 stokes law 证明：BCDdxdyAxy取一微元矩形的封闭周线，各点速度大小如图：沿A、B、C、D的速度环量为 由于各点速度不等，取各边始端点的速度的 平均值计算环量：将各点速度代入整理，有： stok

6、es 定理得证。（水平面）2.有限单连域的 stokes law:将微元面积的结果推广到有限大面积中。把 有限大面积划分成无数个微元面积，求出每条边 ，然后再求和，内周线上 的环量相互抵消，只剩下沿外周界线 L的 环量。L此式即为有限大单连域 stokes 定理。即：此定理也可用于复连域：L1L2AStokes law 说明，速度环量不仅可以决定漩涡 的存在，还可衡量封闭周线所围区域中全部 漩涡的总涡强。环量为零，即总涡强为零； 环量不为零必然存在漩涡。反之，无旋，环 量为零。问题：沿封闭周线L的环量为零，是否 在所围面积内流体各处都处于无旋状态？答：否 只有在区域内任一条封闭曲 线上的速度环

7、量皆为零，则区域内的旋涡 强度必为零，流动为无旋运动。例1：证明平行流的环量为零。流体以定常速度 水平运动，在流场 中任取一封闭周线 1234，求若封闭周线取为圆？1234例2：求有间断面的平行流的速度环量 ？1234Lbu1u2例3：龙卷风的速度分布为试根据 stokes law 来判断是否为有 旋流动。时时如图，当 ，流体以象刚体一样转 动，称风眼或强迫涡（涡核）。在 区域，流体绕涡核转动，流体 质点的运动轨迹是圆但本身并没有旋转 称之为自由涡或势涡。自由涡rr0 强制涡复合涡分别讨论自由涡和强制涡。在 区域内任取 一点p，过p点做任 一封闭曲线ABCD， 沿ABCD做环量:ABCD r1

8、r2r0p强制涡：式中 为扇形ABCD的面积即 有旋由于p是任取的，故这一结果可推广到强制 涡中任一点，由此可见，强制涡是有旋流 。讨论自由涡：在 区域内任取一点p，过p点做 任一封闭曲线ABCD，沿ABCD做环量ABCDr1r2r0p由于ABCD是任取的，故 此结论可推广到自由涡 中任一区域。结论：龙卷风的风眼是 有旋的，风眼外是无旋 的。例：设二元流的速度为：问：1）流动是否存在？2）流动是否有旋？3）求沿 的和该周线所 围面积内的漩涡强度 。例：已知速度场 求以所围正方形的。11 11例：设在（1，0）点置有0的涡， 在（1，0）点置有0的旋涡， 求沿下例路线的。001）2）3）4）3

9、速度势和流函数一、平面流动二、速度势函数1.势函数存在的条件：垂直与z轴的每个平 面流动都相同，称 平面流动。对无旋流此条件可写成：此条件称 柯西黎 曼条件由高数知识可知，柯西黎曼条件是使成为某一个函数全微分的充要条件，即而当 t 为参变量，的全微分为比较两 式有：柱坐标无论流体是否可压缩，是否定常 流只要满足无旋条件 ，总有势函数存 在。故理想流体无旋流也称势流。把 称为速度势函数简称势函数用势函数表示速度矢量：2、势函数的性质1）流线与等势面垂直 证：令 为等势面，在其上 任取一微元线段 ， 上的速度为 ,求 两者点积在等势面上， 故 即 速度与等势面垂直，由于速度矢量与流 线相切，故流线

10、与等势面垂直。2）势函数对任意方向L的偏导数，等于速 度矢量在该方向的的分量。3）与之间的关系由此可知：在势流中，沿任意曲线 AB的环量等于曲线两端点势函数的差， 与曲线的形状无关。 若函数是单值的，则沿任一封闭周线 k 的速度环量等于零。4）在不可压流体中，势函数是调和函数由连续性方程：有：满足拉普拉斯方程的函数是调和函数。三、流函数 1、流函数的定义：在不可压流体的平面流中，应满足即由高数知识可知，此式是使 成为某一个函数 全微分的充要条 件，即而 的全微分又可表示为：比较两式有极坐标称为流函数。只要流动存在，无论而是否有旋，是否为理想流体，都必定存在流 函数。2、流函数的特性：1）流函数

11、 与流线的关系： 的等值线是平面上一条流线。证明：由流线方程：而即故 时 c 是流线方程的解,它是平面上一 条流线。注意：有流动就有流线存在，而流函 数仅存在于平面流动中。2）流函数 与流量Q的关系：流过任意曲线的流量等于曲线两端点 流函数的函数值之差。流线ABV由此结果可知：两流线之间流量保持不变，与曲线AB 的起始点无关，若AB本身就是一条流线 ，则通过AB的流量为零。若AB是一条封 闭周线，通过AB的流量也为零。3）流函数与势函数的关系：对不可压平面势流，流函数和势函数同时 存在，它们之间关系是a:b: 等线与等线垂直 前已证明，流线与等势面垂直 ，而 的线是流线故等 线与等线垂直。流网

12、代入 4）在不可压平面无旋流中，流函数也是调和 函数。对平面无旋流将有：满足拉普拉斯方程，故 是调和函数。例1： 不可压缩平面流动的速度势为 ，求在点（2，1.5）处速度的大小。解 由速度势的定义求出例2：设二元流动的速度场为求 1)流动是否存在？是否有旋？2）？3）？4）求沿 的和该周线所围面 积内的漩涡强度 。例3：已知流场的流函数试问 1) 是否存在 ？2）求出通过 A(2,3)和 B(4,7) 任意曲线的流量和沿曲线的环量。例4：已知试问 1)流动是否存在？2）流动是否有势？3）？ ？4）求沿 的及通过此 曲线的流量Q。6-4 不可压缩流体平面无旋流动的复 变函数表示一、复位势与流函数

13、、势函数间的对应关 系流函数与势函数的关系这正是柯西-黎曼条件。复变函数的 理论， 和 可以组成以复变量 为自变量的一个复变函数。它的导数为被称为流动的复位势，实部为势 函数，虚部为流函数。被称为复速度，实部为速度在x方向 的分量，虚部为速度在y方向的分量的 相反数。二、复位势的性质1. 两点的复位势之差是复势，其实部是 两点连线上的速度环量，虚部是通过两 点连线的流量。2. 复位势允许加任一复常数而不改变所 代表的流动。3. 两个不可压缩流体的平面无旋流动的 叠加，仍然为平面无旋流，其复势为原 两个复势之和。三、势流叠加原理势函数速度5 基本的平面有势流动势流叠加原理:由于函数和函数都是调和

14、函数， 由调和函数的性质可知，调和函数的线 性组合仍是调和函数，故可用来描述一个新 的有势流动即函数和函数可叠加，叠加后仍是无 旋流。一、均匀直线流动平行流有几种情况：如图 xyyxv u xyc=c讨论一般情况：1、速度场可分解成2、与由积分有:3、求流线同理:令 有解得:流线是斜线斜率是点z相同，有 即全流场压力为常数如0，流线平行与x轴,如90流线平行与y轴，4、压力分布 平行流中各点速度相等，任取两点写伯努 利方程，都有在水平面上，各二、平面点源和点汇点源：单位时间内通过一半径为 的圆周 流出流量 当 时保持Q不变， 则这种流动称为点源流（若流入，称点汇） ，Q称为点源（汇）强度。1.点源的速度场由与r 成反比。 为源， 为汇。只有径向流动2.点源势函数和流函