现代控制理论ppt

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1、第三章 线性系统的能控性和能观性 1、能控性和能观性是现代控制理论两个重要的 基本概念。1960年由卡尔曼首先提出。-卡尔曼（RE.Kalman)美籍匈牙利人，是现 代控制理论的主要奠基人之一。首先引入状 态空间分析法，提出能控能观、最优调节器 、卡尔曼滤波、最优控制的反问题等。 2、能控性是u(t)支配X(t)的能力，回答u(t)能 否使X(t)作任意转移的问题；3、能观性是Y(t)反应X(t)的能力，回答是否 能通过Y(t)的量测来确定X(t)的问题。古典中：C(s)既是输出又是被控量(1)、 C(s)肯定与R(s)有关系 ， (2)、 C(s)肯定是可测量的， 因此，只要满足稳定，肯定能

2、控能观现代中：被控制量是X（状态变量）问题：1、每个状态X (t)是否受u(t)控制 2、状态变量在系统内部，能否通过观测Y (t)来 测量X (t) 分析： 1、x1与输入u无关，不能 控，x2能控， x1, x2不完 全能控。 2、y= x1+ x2 , x1或x2 都能对y产生影响，通 过y能确定x1或x2 ，能 观测。 3、能控能观是最优制和 最优估计的设计基础。-3.1 线性连续系统的能控性一、线性时变系统的能控性（一）定义：对于系统若存在输入信号u(t)，能在有限时间区间t0,tf 内将系统的任意一个初始状态x(t0)转移到终端状态 x(tf),称x(t)在t0时刻或t0,tf区间

3、上是完全能 控的，或称系统在t0时刻是能控的，否则不能控 。 （二）性质 线性时变系统方程的解意义：系统状态x(t0)能控，即t0,tf区间上受 u(t)控制。（三）能控性判据 定理3.1系统(A(t),B(t),C(t)在t0时刻或t0,tf 完全能控的充要条件是矩阵(t0,t)*B(t)是行 线性无关的（满秩的、非奇异的）注意：1、某些状态能控系统完全能控 2、系统完全能控肯定状态能控系统，如果存在分 段连续的u(t)在t0,tf内，将系统的任一x(t0)转 移到x(tf),称此系统是状态完全能控制的，或状 态能控的。若n个状态变量中，至少有一个状态 变量不能控时,称系统是状态不完全能控或

4、不能 控.二、线性定常系统的能控性 （一）定义:对 （二）能控性判别准则:-三个定理 定理3.2线性定常系统完全能控的充要条 件是矩阵是满秩的 证明：线性定常系统状态方程的解方程有解的充要条件是系数阵满秩 即都与u有关，所以 状态完全能控，即能控例3.2有系统如下，判断其是否能控解 ：故它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不 论a2、a1取何值，其秩为3，系统总是能控的。 因此把凡是具有本例形式的状态方程，称之为 能控标准型。定理3.3若线性定常系统的系数矩阵A有互不相 同的特征值，则系统能控的充要条件是输入矩 阵B没有任何一行的元素全部为零。定理3.4若A为约旦型，则系统能控的充要条件

5、是 （1）B中对应于互异的特征值的各行，没有一 行的元素全为零。 （2）B中与每个约旦块最后一行相对应的各行 ，没有一行的元素全为零。例3.4 判断下列系统的能控性所以A为约旦阵，但有两个相同特征值的约旦块 对应b虽为最后一行全为0的元素行，仍不能控 ，可算出rankM3.结论：系统的能控性，取决于状态方程中的A和B 。3.2 线性定常离散系统的能控性 一、定义 对于线性定常离散系统x(k1）Gx(k)+Hu(k)如果存在控制信号序列u(k)、u(k+1)u(n-1)，使 得系统从第k步状态x(k)开始，能在第n步上达到 零状态（平衡状态），即x(n)0，其中n为大于k 的某一个有限正整数，称

6、系统在第k步上是能控 的，x(k)称为系统在第k步上的能控状态。如果对于任一个k，第k步上的状态x(k)都是能控 状态，则系统都完全能控，称系统完全能控。注意：控制信号序列有限，但规律和大小没有限制 二、判别准则 定理3.5 线性定常离散系统 (G,H)状态能控的 充要条件是能控性矩阵证明： 离散解：假设能控，经n步，x(k)=x(n)=0写成其中u(0)u(n-1)T为n个未知，方程有解的充要 条件是系数阵满秩，即说明：形式上同连续系统，ABGH例3.5已知判断是否能控 解：说明：也可把矩阵G化为对角形或约旦标准型后， 按定理3.3、3.4判别系统是否能控。3.3 线性定常系统的能观测性一、

7、定义：系统 如果对任意给定的u(t)，在有限观测时间内t0tf 内测量值，就能唯一地确定x(t0), 则称x(t0)是能观 的，如果每个x(t0)是能观，称状态完全能观，简 称状态能观-二、判别准则 定理3.7线性定常系统 (A,B,C)状态能观测的充 要条件是系统能观测性与输入向量无关，令u(t)=0,t0=0可见，根据在0,tf量测的y(t),能将初始状态x(0) 唯一地确定下来地充要条件是例3.8、若系统为试判断系统的能观测性定理3.8若矩阵A有互不相同的特征值，则系 统能观测的充要条件是输出矩阵C没有任何一 列的元素全部为0。定理3.9若矩阵A为约旦型，则系统能观测 的充要条件是 （1

8、）输出矩阵C中对应于互异特征值的各列 ，没有一列的元素全为0。 （2）C中与每个约旦块的第一列相对应的各 列，没有一列的元素全为0。例3.10下列的一些系统是完全能观测的下列的系统是不完全能观测的三、线性定常离散系统的能观测性（一）定义：当u(k)给定，根据第i步，以及以 后若干步对y(i),y(i+1)y(n)的测量，就唯一地 确定出第i步的x(i)，称x(i)是能观的。如果每个 x(i)都能观，称状态完全能观，简称状态能观。（二）判别准则 定理3.10线性定常离散系统状态能观测的充 要条件是证明假设观测从第0步开始，令u(k)0，则3.5 对偶原理 一、线性系统的对偶 关系称系统 1 和2

9、 是互为对偶的。 1是2 的对 偶系统或2是1的对偶系统。（二）对偶系统的结构图特点（1）输入端与输出端互换，信号传递方向相反 （2）信号引出点和信号综合点互换 （3）对应矩阵转置（三）对偶系统的传递函数互为转置1图表示用u1(t)控制y1(t)是“控制问题”，2图表示用输出量去求输出量，称为“估计问题 ”对偶系统的特征值是相同二、对偶原理系统 1 (A1,B1,C1)和 2 (A2,B2,C2)是互为对偶 的两个系统，则1 的能控性等价于2 的能观 性， 2的能观性等价于 1 的能控性。或者说 ，若 1是状态完全能控的（完全能观的）， 则2是完全能观的（完全能控的）证明：对2 而言，能控性判

10、别矩阵的秩为n，则系统状态完全能控的。说明 1 的能观性判别矩阵N1的秩也为n，从而 说明 1为完全能观的。 同理有 即若 2 的N2满秩， 2为完全能观，则 1 的M1亦满秩而为状态完全能控。3.6 线性系统的结构分解（1）当系统不能控或不能观测时，并不是所 有状态都不能控或不能观测（可通过坐标变换 对状态空间进行分解。） （2）把状态空间按能控性或能观性进行结构 分解。 一、结构分解举例由定理3.3知：x1,x2能控，x3,x4不能控由定理3.8知：x2,x3能观测，x1,x4不能观系统有：（1）能控能观 （2）能控不能观 （3）不能控能观 （4）不能控不能观四种情况结构图 ：x1能控不能

11、观x2能观能控x3不能控能观x4不能控不能观上述是通过变换把一个系统分解成4个子系统二、系统按能控性分解(一)定理3.10 设系统 (A,B,C) 不能控，则 rankM=rankB,ABAn-1B=rn，必存在一非奇异 矩阵T= Rc ，使得则系统得状态空间被分解成能控和不能控的 两部分(二)变换矩阵T的求法： （1）从M=B,ABAn-1B中选择r个线性无关的 列向量 （2）以（1）求得的列向量，作为T的前r个列 向量，其余列向量可以在保持T为非奇异的情 况下，任意选择。 (三)说明： （1）系统按能控性分解后，其能控性不变。 （2）系统按能控性分解后，其传递函数阵不变 。三、系统按能观测

12、性分解 (一)定理3.11 设系统 (A,B,C) 不能观，则原状态方程被分解成能观和不能观测的两部分(二)变换矩阵R0的求法：例3.16设线性定常系统如下，判别其能观性，若不 是完全能观的，将该系统按能观性进行分解。解：系统的能观性判别矩阵所以该系统是状态不完全能观的。为构造非奇异变换阵R0-1，取得其中R3,是在保证R0-1非奇异的条件下任意选取的。 于是系统状态空间表达式变换为3.7 系统的实现 一、概念： 根据给定的传递函数阵G(s)，求其相应的状态空间 表达式(A,B,C,D)使其满足C(SI-A)-1B+D=G(S)，称 该状态空间表达式 (A,B,C,D)为传递函数阵G(S)的

13、一个实现。 二、实现的目的是为了仿真（做模仿） 通过模拟结构图，用积分器、加法器等（集成电路 块）连接试验，物理可实现条件为 1、G(S)中的每一个元素Gij(S)的分子分母多项式 的系数均为实常数。 2、G(S)中每一个元素均为S的真有理分式函数三、如何实现： 状态变量的选择有无穷多组，实现的方法有无 穷多。单变量系统可以根据G(S)直接写出其能 控标准型实现和能观标准型实现。 四、最小实现（2）定理：G(S)的一个实现为最小实现的充要条件是 （A,B,C)不但能控而且 能观。 （3）确定最小实现的步骤 1、对G(S)初选一种实现 (A,B,C)，通常选取能控 或能观标准型实现，检查其实现的

14、能控性（或能观 性），若为能控又能观则 (A,B,C)便是最小实现。 2、否则对以上标准型实现 (A,B,C)进行结构分解 ，找出其完全能控又完全能观的子系统 ,这便是G(S)的一个最小实现。3.8 能控性和能观性与传递 函数阵的关系 一、定理3.12：对于单变量系统，如果G(S)存在 零极点对消，则由状态变量选择而定，要么能控 不能观，要么能观不能控,或既不能控也不能观， 若没有零极点对消，则状态能控能观。从状态空间看：从传递函数阵看：1、没有零极点对消，能控能观，2、有零极点对消，就会存在由定理可得以下推论： G(s)所表示的仅仅是该系统既能观又能控的那一部 分子系统，所以G(s)是系统的一种不完整描述 G(s)若有零极点对消，就会出现不能控或不能观。 二、定理3.13：对于多变量系统，系统能控又能观 的充分条件是其传递函数阵G(s)中无零极点对消。 （不是必要条件）。