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1、例4细杆的热传导问题 长为 的均匀细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热， 端绝热， 端热量自由散发 到周围介质中，介质温度恒为0，初始温度为 求此杆的温度分布。 解：定解问题为 设 且 得本征问题 由 及齐次边界条件，有 当 或 时, 当 时, 由 得 由 得 故 即 ry图 1由图1看出，函数方程 有成对的无穷多个实根故本征值为： 令有函数方程对应的本征函数 的方程： 解为故 可以证明函数系 在 上正交由初始条件得将 展成以 为基底的付氏级数，确定 例5.在带电的云跟大地之间的匀强静电场(设其强度为 ,方向为竖直的)，水平架设一输电线，讨论输电线(导体圆柱体)对匀强电场的影响。
2、 图 2+ +带电的云+ + + y x解: 设输电线圆柱半径为 a，取垂直于圆柱体的平面为x y平面, (x,y) 点处电势用 u(x,y) 表示。 柱体外空间无电荷，电势满足二维Laplace方程亦即无限远处静电场保持匀强 ，且由于 x 轴平行于 故在无限远处 ，即 因此 u(x,y) 满足的定解问题为： 采用平面极坐标。 令由于 不能分解，故不能直接用 分离变量法。 令 则 则取参数 由平面极坐标下极角周期性，应有 即 亦即 自然周期条件则本征值问题 由 解得 结合自然周期条件，可求得本征值和本征函数 的方程 欧拉型常微分方程 作代换 ，方程化为 其解为 分离变量形式解 所以 由边界条件
3、由此 即再由条件 由于 大时， 和 远远小于 项，当 时， 因而得从而 最后得柱外的静电势为： 式中三项有明显的物理意义： 均匀带电圆柱体周围的静电场和的电势; 原来的匀强静电场中的电势分布; 该项 。 圆柱邻近对匀强电场的修正, 时,例6 钢锭传热问题。 轧制钢材之前，须将钢锭加热到适当温度，使其硬 度降低，宜于轧制，该过程既费时，又费燃料，为了 节约，须研究钢锭的最佳在炉时间。该问题可简化为求表面温度为零度、初始温度 已知的长方体的热传导问题： 为待定常数，再设 代入，得： 令设其解 ，且 得 为 待定常数由边界条件得三个本征值问题 其本征值和本征函数分别为 所以 关于 的方程 解得 则满足方程和边界条件的解 由初值条件例7 梁的横振动 梁发生振动时，两端固定，且端点的扰矩为零，初 始位移和初始速度分别为 解 定解问题为设 ，且 ，代入方程得： 为参数本征值问题：当 或 时, 时 其中A,B,C,D 为任意常数，由边界条件得 解之有 A = B = C = 0本征值和本征函数 关于T 的方程，所以 有解将初值条件代入，比较系数得：
