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1、一、 函 数1. 函数的概念定义:定义域 值域图形:( 一般为曲线 )设函数为特殊的映射:其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函数 设函数为单射, 反函数为其逆映射4. 复合函数 给定函数链则复合函数为 5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复复合而成的一个表达式的函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 设函 数求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 .代入原方程得代入上式得设其中求令即即令即画线三式联立即例 2.机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、思考与练 习 1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么? 相同相同相同机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什 么?不是是不是提示: (2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?以上各函数都是初等函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 设求及其定义域 .5. 已知, 求6. 设求由得4. 解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 已 知, 求解:6. 设求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 连续与间断 1. 函数连续的等价形式有2. 函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点
3、 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .3. 闭区间上连续函数的性质例3. 设函数在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点, 所以为可去间断点 ,极限存在例4. 设函数试确定常数 a 及 b .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 设 f (x) 定义 在区间上 , 若 f (x) 在连续,提示:阅读与练习且对任意实数证明 f (x) 对一切 x 都连续 .P64 题2(2), 4; P73 题5机动 目录 上
4、页 下页 返回 结束 证:P73 题5. 证明 : 若 令则给定当时, 有又根据有界性定理, 使取则在内连续,存在, 则必在内有界.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、 极 限 1. 极限定义的等价形式 (以 为例 )(即 为无穷小)有机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 极限存在准则及极限运算法则3. 无穷 小无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: 4. 两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 求极限的基本方法 例6. 求下列极 限：提示: 无穷小有界机动 目录 上页 下页 返回 结束 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有复习: 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 确定常数 a , b , 使解: 原式故于是而机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 当时,是的几阶无穷小?解: 设其为的阶无穷小,则因故机动 目录 上页 下页 返回 结束 阅读与练 习 1. 求的间断点, 并判别其类型.解:x = 1 为第一类可去间断点x = 1 为第二类无穷间断点x = 0 为第一类跳跃间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求 解:原式 = 1 (2000考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束
