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1、主 要 内 容：1、复数项级数及其敛散性2、幂级数3、泰勒级数4、洛朗级数第四章 级 数11、 复数列的极限1 复数项级数定义1不收敛的数列称为发散数列.2定理1证明342、 复数项级数级数前n项的和-级数的部分和-无穷级数定义2设复数列定义35根据复数项级数收敛的定义，我们有定理2由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题.6常见实级数敛散性判别法：1）比较法；2）比值法；3）根值法；4）交错级数的莱布尼兹判别法.注意：定理3的逆命题不成立！定理3注意经常应用定理3的逆否命题！性质 7定理4证明定理5由不等式*，我们得到8定义49解例210112 2 幂级数幂级数1 1、
2、 函数项级数函数项级数定义1设复变函数列：-称为复变函数项级数；级数前n项的和-级数的部分和；122 2、 幂级数幂级数定义2的函数项级数称为幂级数.13关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：定理1 (-Abel定理）.,)0(00 0级数必绝对收敛的 则对满足收敛在若级数zzzzzzcnn n=14级数皆收敛且绝对收敛.级数皆发散.z0 收敛点0.xyz0发散点0.yx15证明16(2)用反证法，对于幂级数（1），请写出相应的阿贝尔定理.173、幂级数的收敛圆与收敛半径由Abel定理，幂级数（3）的收敛情况不外乎 下述三种情况：(1)对所有的z，级数(3)都收敛.(2 )仅在z=0
3、处级数(3)收敛. 这时， 级数(3)在复 平面上除z=0外处处发散.18显然， . 否则，级数(3)将在处发散.:定理，在圆周由.)3(:)3(发散数外，级在圆周收敛；内，级数=z cz cAbel19故20幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散.请分析幂级数(2)的收敛范围.如何求幂级数的收敛半径呢?我们先讨论下面的一个定理:212223例1解所以 24综上思考题:提示:本题不能直接利用定理3（为什么？）.25例2 求下列幂级数的收敛半径：解 (1)26274、幂级数的性质 定理4-幂级数的逐项求导运算实际上，幂级数在收敛圆内可以逐项求导至 任意阶导数.28-幂级数的逐项积分运算注：定理4为今后将函数展开成幂级数提供了极大 的方便.295、 幂级数的运算与实幂级数一样，复幂级数也可以进行代数运算. -幂级数的加、减运算则30-幂级数的乘法运算（即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并同 次幂系数.）注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立. 但这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中的较 小一个收敛半径.31-幂级数的代换(复合)运算在函数展 成幂级数中 很有用.例3解：注意到32所以代换展开还原33本讲小结1、级数收敛的定义和性质2、Abel定理3、幂级数的收敛半径4、幂级数的性质34
