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1、第七章几何学的新天地 非欧几何的诞生1.欧式几何的家丑平行公设是欧式几何的家丑。达朗贝尔“过直线外一点有且仅有一条平行线。”这是我们在初中就学过的公理。别小看它，它 曾经花费了数学家们2000多年的时间来研究它，甚至于还有个几何学的“家丑”的名声。欧几里得的几何原本提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。 有些数学家还注意到欧几里得在几何原本一书中直到第二十九个命题中才用到， 而且以后再也没有使用。也就是说，在几 何原本中可以不依靠第五公设而推出前二 十八个命题。 因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能
2、不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史 上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？欧几里得的几何原本共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和 角的大小关系，平行线理论，三角形和多角 形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何 把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆； 第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相 似多边形理论；第五、第七、第八、第九、 第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立 体几何的内容。 从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全
3、包含在几何 原本里了。因此长期以来，人们都认为几 何原本是两千多年来传播几何知识的标准教 科书。属于几何原本内容的几何学，人们 把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何 。 几何原本最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容 ，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理 ）。几何原本第一卷列有23个定义，5条 公理，5条公设。 这些定义、公理、公设就是几何原本全书的基础。全书以这些定义、公理、公设为依 据逻辑地展开他的各个部分的。比如后面出现 的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证 。都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑 推理给予仔细证明。 关于几何论证的方法，欧几里
4、得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设 所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件 ，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明 过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归 谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结 论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相 矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原 来命题的结论是正确的，也称作反证法。 而第五公设的证明，直到1733年萨凯里才做出值得注意的成果。萨凯里没有象其他人 那样试图从正面进攻平行公设，而是应用他 所喜欢的反证法。这种证明方法的基本思想 是：保持欧几里德的其他公设不变，假设第 五公设不真，由此进行逻辑推演。如果推导 出逻辑矛盾来，就
5、反驳了第五公设不真的假 设，从而也就间接证得第五公设。他考虑了一个看起来象矩形的图形ABCD， 其中AD=BC，且A= B=90，不用平行公 设，可以证明C=D。这个图形有三个可 能： （1）直角假设，C，D是直角；（2）钝角假设，C，D是钝角；（3）锐角假设，C，D是锐角；如果利用平行公设，就能证明C，D是直 角，即直角假设成立，相反，由直角假设，也能证明平行公设， 因此平行公设与直角假设等价。而与欧式平行公设对立的公设有：（V）过直线外一点没有直线与给定的直线 平行；（V）过直线外一点至少有两条直线与给定 的直线平行。这两个命题分别能证明钝角假设，锐角假 设，同样（V）与钝角假设等价，（V
6、）与 锐角假设等价。如果我们保留欧几里德几何中不依赖平行 公设的命题，然后把平行公设替换为（V）或 （V），就能得到新的几何体系。分别叫做椭 圆几何、双曲几何，它们都是非欧几何。非欧几何学是一门大的数学分支，一般来 讲 ，他有广义、狭义、通常意义这三个方面 的不同含义。所谓广义是泛指一切和欧几里的 几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指 罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何， 就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。 萨凯里本想通过逻辑证明来排除钝角和锐 角两种情况，从而间接证明转角假设为真， 即平行公设为真。结果他却得到了一个没有 矛盾的新几何体系双曲几何。但他却以“结论不合情理”而否认了，
7、并在 书末写到“欧式几何无懈可击”。为什么呢？ 有两种说法。有人说，因为欧式几何有2000年的传统， 对人们的影响根深蒂固，萨凯里无法突破思 想上的束缚。还有人说：萨凯里完成自己的研究后，教会做出了没收、充公的暗示。萨凯里也许自始至 终认为在锐角下找不到矛盾，只不过为了让他 的著作能通过教会的审查，才毫无诚意地做了 个不可能愚弄数学家的谬论。萨凯里走到了一个新奇世界的门口，但是他没有继续下去，否则他的研究将成为几何学史 上最伟大的发现，他本人也将成为新学科非欧几何的创立者。另一个对新几何的产生做出重要贡献的是瑞 士数学家兰贝特他继承了萨凯里的方法，从 考察一个三个角都是直角的四边形出发，研究
8、其第四个角是直角、钝角和锐角的可能性兰 贝特否定了钝角假设，也没有轻率地做出锐角 假设导致矛盾的结论他没有像萨凯里那样囿 于第五公设真实性的顽固想法，而是大胆对第 五公设的可证明性提出了怀疑在他的思想中 甚至包含了非欧几何学可以存在的想法，这是 观念上的一个重要冲破但他未能对这种几何 的现实性提出任何见解，因而也就未能再向前 迈出一步 2.非欧几何的诞生 高斯是真正预见到非欧几何的第一人, 1792 年，当他15岁时，已经有了第五公设不可证 和非欧几何的思想萌芽以后相继得到许多 这方面的重要结果但他动摇徘徊了25年之 久，直到1817年才牢固树立起坚定信念不 幸的是，由于康德的唯心主义空间学说
9、和在 数学界占统治地位的所谓现实空间只能是欧 氏空间这旧传统观念，给高斯以很大的精神 压力，因而毕其一生关于此问题也没有发表 什么见解 .预见到非欧几何的第二人鲍耶在青年时代 就醉心于第五公设的证明他不顾父亲的劝告 ，坚持研究，终于建立了非欧几何1823年11 月3日，他高兴地写信告诉父亲：“我已从乌有 中创造了另一个新奇的世界”当他父亲把鲍耶 的研究成果写信告诉高斯的时候，高斯感到十 分吃惊，回信说：“这和我40年来沉思的结果不 谋而合”鲍耶看到高斯的回信，大大刺伤了自 己的自尊心，反而怀疑高斯剽窃他的成果.从此 消沉下去，不再研究这一问题 高斯的保守，鲍耶的消沉，使非欧几何的诞生推迟了时间
10、只有俄国数学家罗巴切夫斯基(17931856)才无愧于享有这门新学说的创建者和捍卫者的光荣称号 3.几何学中的“哥白尼”1893年，在喀山大学树立起了世界上第一个为数学家雕塑的塑像。这位数学家就是俄国的伟 大学者、非欧几何的重要创始人罗巴切夫期基。非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数 学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以 及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。不过，这一重要的数学发现在罗巴切夫斯 基提出后相当长的一段时间内，不但没能赢 得社会的承认和赞美，反而遭到种种歪曲、 非难和攻击，使非欧几何这一新理论迟迟得 不到学术界的公认。罗巴切夫斯基是
11、在尝试解决欧氏第五公设 问题的过程中，从失败走上他的发现之路的 。欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著 名难题之一，它是由古希腊学者最先提出来 的 罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现之路的。罗巴切夫斯基是从1815年着手研究平行线理论的。开始他也是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明。在保存下来的他的学生听课笔记中，就记有他在18161817学年度在几何教学中给出的一些证明。可是，很快他便意识到自己的证明是错误的。 前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明。于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答。这
12、是一个全新的，也是与传统思路完全相反的探索途径。罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现了一个崭新的几何世界。那么，罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设不可证的呢？又是怎样从中发现新几何世界的呢？原来他创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法反证法。这种反证法的基本思想是，为证“第五公设不可证”，首先对第五公设加以否定，然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。首先假设第五公设是可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来。那么，在新公理系统的推演过程中一定会出现逻辑矛盾，至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反
13、驳了“第五公设可证”这一假设，从而也就间接证得“第五公设不可证”。依照这个逻辑思路，罗巴切夫斯基对第五公设的等价命题普列菲尔公理“过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交”作以否定，得到否定命题“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演。在推演过程中，他得到一连串古怪、 非常不合乎常理的命题。但是，经过仔细审 查，却没有发现它们之间存在任何罗辑矛盾 。于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言 ，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新 公理系统可构成一种新的几何，它的罗辑完 整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。 而这
14、个无矛盾的新几何的存在，就是对第五 公设可证性的反驳，也就是对第五公设不可 证性的逻辑证明。由于尚未找到新几何在现 实界的原型和类比物，罗巴切夫斯基慎重地 把这个新几何称之为“想象几何”。在冷漠中宣告新几何诞生1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上，宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文：几何学原理及平行线定理严格证明的摘要。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。然而，这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对。参加2月23日学术公议的全是数学造诣 较深的专家，其中有著名的数学家、天文学家 西蒙诺夫，有后来成为科学院院士的古普费尔 ，以及后来在数学界颇有
15、声望的博拉斯曼。在 这些人的心目中，罗巴切夫斯基是一位很有才 华的青年数学家。可是，出乎他们的意料，这位年轻的 教授在简短的开场白之后，接着说的全是一些 令人莫明其妙的话， 诸如三角形的内角和小于两直角，而且随 着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一 边的垂线可以和另一边不相交，等等。 这些命题不仅离奇古怪，与欧几里得几何相 冲突，而且还与人们的日常经验相背离。然而 ，报告者却认真地、充满信心地指出，它们属 于一种逻辑严谨的新几何，和欧几里得几何有 着同等的存在权利。这些古怪的语言，竟然出 自一个头脑清楚、治学严谨的数家教授之口， 不能不使与会者们感到意外。他们先是表现现 一种疑惑和惊呆，不
16、多一会儿，便流露出各种 否定的表情。宣讲论文后，罗巴切夫斯基诚恳地请与会者讨论，提出修改意见。可是，谁也不肯作任何公开评论，会场上一片冷漠。一个具有独创性的重大发现作出了，那些最先聆听到发现者本人讲述发现内容的同行专家，却因思想上的守旧，不仅没能理解这一发现的重要意义，反而采取了冷谈和轻慢的态度，这实在是一件令人遗憾的事情。会后，系学术委员会委托西蒙诺夫、古普费尔和博拉斯曼组成三人鉴定小组，对罗巴切夫斯基的论文作出书面鉴定。他们的态度无疑是否定的，但又迟迟不肯写出书面意见，以致最后连文稿也给弄丢了。权威的讥讽与匿名者的攻击罗巴切夫斯基的首创性论文没能引起学 术界的注意和重视，论文本身也似石沉大海， 不知被遗弃何处。但他并没有因此灰心丧气， 而是顽强地继续独自探索新几何的奥秘。1829 年，他又撰写出一篇题为几何学原理的论 文。这篇论文重现了第一篇论文的基本思想， 并且有所补充和发展。此时，罗巴切夫斯基已 被推选为喀山大学校长，可
