[其它]§4随机变量及其分布

《[其它]§4随机变量及其分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[其它]§4随机变量及其分布（65页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布函数第二节 离散型随机变量第三节 连续型随机变量*1皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计第一节 随机变量及其分布函数*2皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计为什么要引入随机变量的概念1.很多随机试验，其结果可以直接用数值表示。例如：产品抽检中出现的次品数，测量物体长度产生的误差等。2.有些试验其结果看起来与数值没有直接的关系，但是我们可以人为的赋予他们“关系”。例如：抛硬币的试验Date3皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与

2、 数数 理理 统统 计计这个试验有这个试验有2 2个可能的结果：个可能的结果：ww0 0=出现正面出现正面 ， ww1 1= = 出现反面出现反面 。为了讨论的方便，引入变量。为了讨论的方便，引入变量X X，当，当ww0 0出现时，取出现时，取X=1X=1，当，当ww1 1出现时，取出现时，取X=0X=0，这样，这样，X X随试验结果的不同而取不同的值，即随试验结果的不同而取不同的值，即X X可以看成是可以看成是定义在样本空间上的函数定义在样本空间上的函数Date4皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计一、 随机变量的概念1、含义：用来表示随机现象结果的变量。样

3、本点本身是用数量表示的； 样本点本身不是用数量表示的。总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性 质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对 应关系，使之与数值建立联系，用随机变量的 取值来表示事件。2、定义：定义在样本空间上的实值 函数XX()称为随机变量，常用大写英文字 母或小写希腊字母来表示，相应地，用小写英 文字母表示其取值。HTDate5皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计随机变量的特点 : （1） X的全部可能取值是互斥且完备的。（2） X的部分可能取值描述随机事件。注：随机变量是样本点的函数，其函数值是实数， 但自变量（样本点）不一定是实数。与微积分

4、中的变量不同，还存在其取值的 概率的问题。（分布）Date6皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计例1 引入适当的随机变量描述下列事件： 将3个球随机地放入三个格子中， 事件A=有1个空格，B=有2个空格，C=全有球。随机变量的实例随机变量的实例解：样本点如图所示解：样本点如图所示共有共有1010个不同的样本点个不同的样本点Date7皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计记记X X表示表示“空格个数空格个数”，则有，则有Date8皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计关于随机变量的补充说明随机变量随

5、着试验结果的不同而取不同的值，在试验随机变量随着试验结果的不同而取不同的值，在试验之前，只能知道它可能取值的范围，但不能预先知道之前，只能知道它可能取值的范围，但不能预先知道它取哪个（些）值；它取哪个（些）值；随机试验的各个结果的出现有一定的概率，因此随机随机试验的各个结果的出现有一定的概率，因此随机变量取某个（些）值也有一定的概率。变量取某个（些）值也有一定的概率。Date9皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计记记X X表示表示“空格个数空格个数”，则有，则有Date10皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计例2 从一批总量为

6、N、次品率为p的产品中，不放 回地抽取n(nNp)个，观察抽取产品中的次品数。 并引入适当的随机变量来表示。分析：记X抽取的产品中的次品数，则X是一个随机 变量，其可能取值为0,1,2,，n.并且，X的每一取值范围都与某一具体事件相对应。例如：Date11皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计随机变量的分类：其他（混合型）连续型随机变量离散型随机变量随机变量随机变量Date12皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计二、随机变量的分布函数 为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我们引入了分布函数的概念。Date13皖西学院 经济与管

7、理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计注注：（1 1）分布函数表示的是随机事件的概率。分布函数表示的是随机事件的概率。（2 2）分布函数与微积分中的函数没有区别。）分布函数与微积分中的函数没有区别。Date14皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计分布函数的性质 注：以上三条是分布函数的基本性质，也是分布函数的充要条件。 Date15皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计例3 一袋中装有依次标着数字-1，2，2，2，3，3的6 个球，从袋中随机取出一个球。记X为取出的球上的数 字，求X的分布函数。 解：X的可能取值有

8、-1，2，3.且有Date16皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计该分布函数的图形如下:注：分布函数是概率的累加。Date17皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计第二节 离散型随机变量定义：若随机变量X为只取有限个或可列个可能值，且以确定的概率取这些不同的值，则称X为离散型随机变量。Date18皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计一、离散随机变量的概率分布列 也可以用表格的形式表示为也可以用表格的形式表示为 X XP P1、定义：设X为离散型随机变量，若X的所有可能称概率 为随机变量X的概率分

9、布列，或简称分布列。记作 ：取值为 ，即有限或无限可数个，则Date19皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计例1 掷两颗骰子，观察其点数，记记X X为点数之和，为点数之和，Y Y为为 6 6点的个数，点的个数，Z Z为最大点数，求为最大点数，求X X、Y Y、Z Z的分布。的分布。分析：样本空间是什么？随机变量的取值范围是什么？分析：样本空间是什么？随机变量的取值范围是什么？即即含有含有3636个样本点个样本点. . Date20皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计X XP PY YP PZ ZP PDate21皖西学院 经济

10、与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计求分布列的一般步骤 确定样本空间。 确定随机变量的可能取值。 确定随机变量的每个取值所对应的事件。 求出每个事件的概率。 列出表格或写出一般的概率表达式。求分布列中的概率时，关键在于必须把随机变量求分布列中的概率时，关键在于必须把随机变量的取值对应到样本空间中的具体事件。的取值对应到样本空间中的具体事件。Date22皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计分布列的基本性质 非负性： 正则性： 这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。Date23皖西学院 经济与管理学院概

11、概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计二、离散型随机变量的分布函数由分布列可以写出其分布函数由分布列可以写出其分布函数 它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数右连续右连续 1 10 0Date24皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计例2 一个袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5.从中 任取3个，以X表示取出球的最小号码，求X的分布列 与分布函数。解：X的可能取值为1，2，3.且注：计算概率时，必须明确相应的具体事件是什么。Date25皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计X的分布列为

12、X 1 2 3P0.6 0.3 0.1X的分布函数为思考：如何由分布函数求分布列？思考：如何由分布函数求分布列？Date26皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计分析：由分布列与分布函数的关系，考虑分析：由分布列与分布函数的关系，考虑X X的可能的可能取值有哪些？取值有哪些？Date27皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计思考：思考：X X还能取还能取到其他数值吗？到其他数值吗？Date28皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计三、常用离散分布1、01分布随机变量只有两个取值的分布称为两点分布；特

13、别地，若其取值为0和1，称之为01分布。X 0 1P 1-p pDate29皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计例5一批产品的废品率为5%，从中任意取一个进行检验，用随机变量X描述废品出现的情况，即X的分布。X 0 1P 95% 5%用X=0表示产品为合格品，X=0表示产品为废品，则Date30皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计2、二项分布定义：在定义：在 n n 重重BernoulliBernoulli试验中，试验中， 若以若以X X记事件发生记事件发生的次数，则的次数，则X X为一随机变量，且其可能取值为为一随机变量，且

14、其可能取值为X X=0,1,2,=0,1,2,，n n. .其对应的概率由二项式给出：其对应的概率由二项式给出： Date31皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计例6 某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4,求最近6内用水量正常的天数的分布。X 0 1 2 3 4 5 6P 0.0002 0.0044 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780Date32皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计例7 一批产品的废品率p=0.03,进行20次重复抽样，就出现废品的频率为0.1的概率。Date33皖西学院 经

15、济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计3、泊松分布Date34皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计补充说明 单位时间内电话总机接到用户的呼唤次数、电路受到的电磁波的冲击次数；一平方米内玻璃上的气泡数；一铸件上的沙眼数等随机变量都服从泊松分布。 二项分布和泊松分布都是非常重要常用的离散 分布. 在n重的伯努利实验中，某个事件在n次实验中发生的次数服从的是二项分布.其特点是只知次数，不知位置.Date35皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计二项分布与泊松分布的关系：泊松定理二项概率可以用泊松分布的概率来近似 ，

16、n n越大，近越大，近似程度越高，该定理解决了二项概率的近似计算问题。似程度越高，该定理解决了二项概率的近似计算问题。Date36皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计例8 已知某种疾病的发病率为0.001，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率是多少？解：设患病人数为X， 则X服从二项分布B(5000,0.001).n=5000, p=0.001. 概率可利用泊松分布近似计算。直接查表可得，见直接查表可得，见P254P254， 5 5，k k=0=05.5.Date37皖西学院 经济与管理学院概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计四、几何分布定义