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1、一、复习习要求（1）理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理（2）熟练掌握不定积分的基本公式（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）（4）熟练掌握不定积分的分部积分法（5）会求简单有理函数的不定积分 第5讲 不定积分1原函数和不定积分的概念二、内容提要如果存在一个函数对该区间上每一点都有或则称函数是函数在该区间上的一个原函数（1）原函数定义：设是定义在某区间上的已知函数，有原函数，则它必有无穷多个原函数说明：a若的所有原函数都表示为的形式（C为任意常数） 是的一个原函数，则b若（2）不定积分的定义：函数的所有原函数，称为的不
2、定积分，记作若是的一个原函数，则有注意：如果漏写这个任意常数C，那就只表示一个原函数可见，原函数和不定积分的关系是个体与全体的关系求已知函数的不定积分的实质是求出它的一个原函数，再加上任意常数C其中C称为积分常数（4）不定积分的几何意义：一般地，函数的图象是一条曲线，（3）原函数的存在性：如果函数则在此区间必有原函数在某个区间连续，轴平移）的曲线族，其中每一条曲线在同一个横坐标形状相同仅位置高低不同（沿处有相同的斜率的图象是一个含有无数条（5）不定积分的性质它表明：若对一个函数求导或微分后再求不定积分，两者作用互相抵消的不定积分的导数等于，即a的导数（或微分）的不定积分与相差一个常数，即bc被
3、积函数中不为零的常数因子可提到积分号前面，即d两个函数的和（差）的不定积分，等于函数不定积分的和（差），即2基本积分公式3直接积分法（1）把只应用不定积分性质和基本积分公式求积分的方法叫做直接积分法（2）在计算积分之前，往往需对被积函数进行简单的恒等变换，常见的恒等变换有：a代数式恒等变换（如加减某一项、把被积函数分成两部分、把根式部分写成分数指数形式等）；b三角函数恒等变换（3）直接积分法是最基本的积分方法，是换元积分法和分部积分法的基础，务必熟练掌握 4第一换元积分法（凑微分法）实际应用形式是令可以不必把写出来，直接计算 可微，则有（1）法则：若已知（2）说明：第一类换元积分法是用得最多的
4、一种重要的积分法其基本思想是，为了计算积分这样与 的复合函数虽然这个积分不属于基本公式，但被积表达式能分解成两部分之积一部分能凑成一个可微函数的微分某基本积分公式中的函数 ，必要时再添加常数；另一部分是属于（3）常见的凑微分形式有：5第二类换元积分法（2）作用：第二类换元积分法主要用来消去被积函数中的根号，这类积分的被积函数看来简单，但难于计算换元后被积函数有理化就便于计算了 ，则，若单调可微，且（1）法则：设其中是的反函数（3）常用代换形式b被积函数含有根式，作三角代换c被积函数含有根式，作三角代换d被积函数含有根式，作根式代换，作三角代换a被积函数含有根式，称为正弦代换，称为正切代换，称为
5、正割代换（4）注意变量还原用上述代换消去根号后，求得的不定积分中常含有变量的函数，这就需要设法把它们用变量的函数代回来对于三角代换，这个回代过程可借用一个直角三角形来完成6分部积分法或简写为：都是可微函数，且及均有原函数，则有（1）法则：设和（2）部分积分法的关键在于选择其一般的选择原则是：b的原函数容易求出的导数比a使本身简单容易计算 c使积分（3）适宜用部分积分法计算的不定积分主要类型有：与指数函数的乘积，简称指数幂积型，这时一般设a被积函数是幂函数的乘积，简称三角幂积型，这时一般取或b被积函数是幂函数与三角函数（如正、余弦函数等）c被积函数是幂函数与对数函数的乘积，简称对数幂积型，这时一
6、般设e被积函数是幂函数与反三角函数的乘积，简称反三角函数型，这时一般设或d被积函数是指数函数与三角函数的乘积，简称三角指数型，这时可任意设6简单有理函数的不定积分，可用换元法计算（1）形如，可通过配方法或拆项法计算 （2）形如1基本概念是的全体原函数，即的不定积分是一族曲线，它们的共同点是曲线上点的切线斜率都是三、例题题及说说明，则的一个原函数，是若两种不同积分方法一般会得到结果，这并不矛盾， 可用导数来检验例1 设，求（1）的全体原函数；或通过恒等变形来检验（2）把代入不定积分，得则所求的一个原函数是时的一个原函数（2）满足条件：当，也可以用凑微分法解 （1）2基本积积分公式和性质质的运用（2）（3）（4）（5）（6）例1 求（1）解 （1）原式（2）原式（3）原式（4）原式（5）原式（6）原式3第一换换元法（凑微分）（2）（3）（4）（5）（6）例1 求（1）解 （1）原式（2）原式（3）原式（4）原式（5）原式（6）原式4第二换换元法（2）（3）（4）例1 （1）解 （1）设，则原式（2）设，则原式（3）设，则原式（） （4）设，则原式5分部积积分法（2）（3）例1 求积分（1）解 （1）设，则于是（2）设，则于是（3）令，则于是6. 简单简单 有理函数积积分解 （1）（2）例1 求积分（1）（2）7三角函数积积分（2）例1 求积分（1）解 （1）因为，于是（2）
