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1、数学模型Mathematical Model（6）层次分析法建模人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域的系统分析 中，面临的常常是由一个相互关联相互制约的众多因素构成 的复杂而往往缺少定量数据的系统，层次分析法为这类问题 的决策提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。层次分析 是美国著名运筹学专家匹兹堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于 1980年提出的层次排序法（the Analytic Hierarch Process， AHP法），广泛应用于复杂系统的分析与决策。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验 判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合 理地给出每个决策方
2、案的每个标准的权数，利用权数求出各 方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以完全用定量方 法解决的课题。层次分析法建模一、基本原理：层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标， 将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相 互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组 合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使 问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于 最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣 次序的排定。层次分析法建模二、操作步骤：层次分析法解实际决问题，分为下面五个步骤：建立层次结构模型将问题包含的因素划分为不同层次，如目标层、准则层、 指标层、方案层、措施层等，用框图形式说明
3、层次的递阶结 构与因素的丛属关系。首先要对问题进行分析，弄清问题所包含的因素、因素间 的相互关联、隶属关系；最终的问题目标。根据对问题的初 步分析，将问题包含的因素按照属性的共性分组，并按属性 的递阶关系组合，形成层次结构模型，直到最终形成单一的 最高因素；也就是我们决策的目标。即由最高层、若干中间 层和最低层排列组成的层次分析结构模型。层次分析法建模a.最高层：层次分析要达到的总目标。b.中间层：采取某种措施、政策、方案等来实现预定 总目标所涉及的中间环节；一般又可分为策略层、约束 层、准则层等。c.最低层：选用的解决问题的各种措施、政策、方案 等。层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高
4、层的 相对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方 案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形 成选择方案的原则。层次分析法建模构造判断矩阵任何系统分析都以一定的信息为基础，层次分析法的 信息基础主要是人们对于同一层中各因素关于上一层次 中某一准则的相对重要性的判断。这些判断通过引入合 适的标度，用数值表示出来，写成判断短阵。判断矩阵 表示针对上一层次某因素，本层次与其有关因素的相对 重要性的比较。若A层次的上一层次P的因素Pk与A层次中的A1，A2， ，An有联系，则判断矩阵形式下表。判断矩阵的元素 aij用萨蒂的19标度方法给出。判断矩阵 元素aij用萨蒂的19标度方法给出，见下
5、表 层次分析法建模P Pk kA A1 1A A2 2A An n A A1 1a a1111a a1212a a1n1nA A2 2a a2121a a2222a a2n2nA An na an1n1a an2n2a annnn层次分析法建模标度标度含含 义义1 1表示表示A Ai i，A Aj j相比，重要性相比，重要性同样同样3 3表示表示A Ai i，A Aj j相比，相比， A Ai i比比A Aj j稍微稍微重要重要5 5表示表示A Ai i，A Aj j相比，相比， A Ai i比比A Aj j明显明显重要重要7 7表示表示A Ai i，A Aj j相比，相比， A Ai i比比
6、A Aj j强烈强烈重要重要9 9表示表示A Ai i，A Aj j相比，相比， A Ai i比比A Aj j极端极端重要重要 2 2，4 4，6 6，8 8上述两相邻判断的中值上述两相邻判断的中值 倒数倒数因素因素i i与与j j比较的判断比较的判断b bij ij，则因素，则因素j j与与i i比比 较的判断较的判断b bji ji=1/b=1/bij ij层次分析法建模层次单排序根据判断矩阵A求出A1，A2，An对因素Pk的相对 排序权重W1，W2，Wn，即W( W1,W2,Wn)T。计算方法：和法取判断矩阵的n个列向量的归一化后的算术平均值即i1,2,n或用行向量归一法：i1,2,n层
7、次分析法建模计算方法：特征根法对于判断矩阵A，若max为最大特征根，W是相应的 特征向量，即AWmaxW求出max后，求解W，归一化后可得权重向量。依照上述方法可以对每一层各因素对上一层准则的排 序权重向量。层次分析法建模判断矩阵的一致性检验计算一致性检验指标CI查找相应的随机一致性指标RI矩阵的阶数矩阵的阶数1 12 23 34 45 56 67 78 8RIRI0 00 00.520.520.890.891.121.121.261.261.361.361.411.41矩阵的阶数矩阵的阶数9 9101011111212131314141515RIRI1.461.461.491.491.521
8、.521.541.541.561.561.581.581.591.59层次分析法建模计算一致性比例CRCI/RI当CR0.1时，认为判断矩阵的一致性可以接受，否则 应对结构作适当修正。层次总排序和一致性检验按照上述过程，从最高层到最低逐层进行，设上一层A 包含m个元素A1，A2，Am，它的层次总排序权值分 别为a1，a2，am，下一层次B包含n个元素B1，B2， ，Bn，它们对Aj的层次单排序权值分别为b1j，b2j， ，bnj，(当Bk与Aj无联系时bkj0)，则B层总排序权值即 为其加权和，见下表层次分析法建模层次层次A A层次层次B BA A1 1A A2 2A AmmB B层次总排序层
9、次总排序 权值权值a a1 1a a2 2a ammB B1 1b b1111b b1212b b1m1mB B2 2b b2121b b2222b b2m2mB Bn nb bn1n1b bn1n1b bnmnm层次分析法建模层次总排序的一致性检验检验是从高层到低进行的设B层中元素对Aj单排序的一致性指标为Cij，随机一 致性指标为RIj，则B层总的一致性比例CR为当CR0.1时，认为结果满意。层次分析法建模三、实例：问题背景：某工厂有一笔企业留成利润，要由领导决定如何利用，可供选择的方案有：（1）以奖金的名义发给职工；（2）扩建集体福利设施；（3）引进新技术、新设备等。如何合理利用？层次分
10、析法建模1、问题分析：上述三个方案的目的都是为了更好的调动职工的 劳动积极性，提高企业技术水平和改善职工物质生 活，都是为了促进企业更大发展。故可以建立结构 模型层次分析法建模合理利用企业利润调动 职工 积极性 C1提高企 业技术 水平 C2改善职 工生活 条件 C3发奖金 P1扩建福利 事业 P2引进 新设备 P3目标层Z准则层C方案层P层次分析法建模2、问题求解：构造判断矩阵ZC另解max3.038， 从而可以求得W？Z ZC C1 1C C2 2C C3 3WWC C1 11 11/51/51/31/30.1050.105C C2 25 51 13 30.6370.637C C3 33
11、31/31/31 10.2580.258层次分析法建模 CR0.033同理构造判断矩阵C1P, C2P, C3P求解得：W1=(0.75，0.25， 0)W2=( 0， 0.167，0.833)W3=(0.667，0.333，0)求解方案层对目标层的总排序层次分析法建模层次层次Z Z层次层次P PC C1 1C C2 2C C3 3P P总排总排序权值序权值0.1050.1050.6370.6370.2580.258P P1 10.750.750 00.6670.6670.2510.251P P2 20.250.250.1670.1670.3330.3330.2180.218P P3 30 0
12、0.8330.8330 00.5310.531方案层对目标层的总排序求解过程检验： CR00.1层次分析法建模结论：（1）优先排序为：P3优于P1， P1优于P2（2）利润分配比例：P3占53.1P1占25.1P2占21.8层次分析法建模四、思考与练习：问题背景：某校工会在五一假期中要组织职工旅游。 有三个地点P1、P2、P3可供选择，在选择地点时要考虑 的因素有费用、景色、居住条件、饮食条件、旅行条件 等。该工会规定只能去一个地点，问会员如何选择自己 的最理想的旅游地点？层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标 准则或指标方案或对象），上层
13、受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。 2）构造成对比较阵 用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。 3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。 4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题 ，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰
14、富、判断力强的专家给出。国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡 献收 入发 展声 誉关 系位 置供选择的岗位例1 国家实力分析例2 工作选择过河的效益A经济效益 B1社会效益 B2环境效益 B3节 省 时 间 C1收 入 C2岸 间 商 业 C3当 地 商 业 C4建 筑 就 业 C5安 全 可 靠 C6交 往 沟 通 C7自 豪 感 C8舒 适 C9进 出 方 便 C10美 化 C11桥梁 D1隧道 D2渡船 D3（1）过河效益层次结构例3 横渡江河、海 峡方案的抉择过河的代价A经济代价B1环境代价 B3社会代价 B2投 入 资 金 C1操 作
15、 维 护 C2冲 击 渡 船 业 C3冲 击 生 活 方 式 C4交 通 拥 挤 C5居 民 搬 迁 C6汽 车 排 放 物 C7对 水 的 污 染 C8对 生 态 的 破 坏 C9桥梁 D1隧道 D2渡船 D2（2）过河代价层次结构例3 横渡江河、海 峡方案的抉择待评价的科技成果直接经济效益C11间接经济效益C12社会效益C13学识水平C21学术创新C22技术水平C23技术创新C24效益C1水平C2规模C3科技成果评价例4 科技成果的 综合评价层次分析法的若干问题 正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接 近一致阵的程度？ 怎样简化计算正互反阵的最大
16、特征根和特征向量？ 为什么用特征向量作为权向量？ 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质定理1 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应正特征向量w，且定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 n , = n是A为一致阵的充要条件。 正互反阵的最大特征根是正数 ，特征向量是正向量。一致性指标 定义合理2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算 精确计算的复杂和不必要 简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量 ，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可 取其某种意义下的平均。和法取列向量的算术平均列向量 归一化算术 平均精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010根法取列向量的几何平均幂法迭代算
