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1、内容：欧氏空间等距变换的定义、解析表 达式 重点：等距变换的解析表达式1.4 等距变换1.4等距变换-定义设 a = (x1, y1, z1) ， b = (x2, y2, z2) 是 R3 中的任 意两点，它们之间的距离为如果 T: R3 R3 是一一对应，且对任意 a、 b R3 有 d(a, b) = d(T(a), T(b) )，则称 T 是 R3 的等距变换，也叫合同变换、保长变换或欧氏 变换1.4等距变换-正交矩阵如果一个 3 阶矩阵 T 满足 TT t = E ，则 T 是 一个 3 阶正交矩阵，其中 T t 表示 T 的转置矩 阵，E 表示 3 阶单位矩阵所有 3 阶正交矩阵
2、关于矩阵的乘法构成群，叫三阶正交矩阵群， 记为 O(3) 由线性代数知，对任意 3 阶矩阵 A 以及任 意的向量 a、b R3，有 (aA) b = a (bAt)， 这里，aA 表示 13 矩阵 a 与 33 矩阵 A 的 积， bAt 等也作同样的解释1.4等距变换-解析表达式 定理. 变换 T: R3 R3 是等距变换的充要条件是存在 TO(3) 以及 pR3，使 T(r) = rT + p 对任意的 r = (x, y, z)R3 成立看证明1.4等距变换-等距变换群欧氏空间的等距变换的全体关于变换的复合 构成一个群，叫等距变换群上面的定理说明等距变换一定是形如 rT + p 的变换，
3、并且TO(3) ，因此 T 的行列式 等于 1 当 T 的行列式等于 +1 时，对应的等距变换 叫刚体运动，简称运动；当 T 的行列式等于 1 时，对应的等距变换叫反向刚体运动刚体运动的全体也构成等距变换群的子群 ，叫运动群1.4等距变换-切向量设 PR3，C 是过 P 点的曲线，我们把 C 在 P 点的切向量叫 R3 在 P 点的切向量过 P 点 可以作很多曲线，因此就有很多切向量 R3 在 P 点的切向量的全体组成的集合记为 TP R3 ，叫做 R3 在 P 点的切空间注意到 R3 在 P 点的任一切向量是某条过 P 点的曲线在该点的切向量，所以对任意 vTP R3 有如下形式v = r
4、(t 0) = (x (t 0), y (t 0), z (t 0) ) 切向量也可以看成是 R3 的点，这样，R3 与 TP R3 就自然等同起来了1.4等距变换-幺正标架R3 的一个标架 P; e1, e2, e3 是由 R3 的一个 点 P（叫标架的原点）和 P 点的 3 个线性无关 的有序切向量 e1, e2, e3 所构成如果这三个切 向量是两两正交的单位向量，则称相应的标架 为正交标架或幺正标架显然，O; i, j, k 是 R3 的一个幺正标架Oe1e3e2P1.4等距变换-正标架设 P; e1, e2, e3 是另一个标架，其中 ei = aii + bij + cik, i =1,2,3令如果 det A 0 ，则称 P; e1, e2, e3 是正标架或 右手标架或右手系P; e1, e2, e3 是正标架的充分必要条件是混合 积 (e1, e2, e3) 0
