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1、本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题第二章 分离变量法1本章基本要求n掌握有界弦的自由振动解及其物理意义n着重掌握分离变量法的解题思路、解题步骤及其核心问题-本征值问题2分离变量法核心：本章考虑问题（1）混合问题（2）边值问题本章层次：3偏微分方程常微分方程齐次方程+齐次边界条件非齐次方程+齐次边界条件非齐次方程+非齐次边界条件分离变量法思路起源物理上由乐器发出的声音可以分解为各种不同频率的单音，每种单音振动时形成正弦曲线，可以表示成42.1 齐次方程问题特点：含两个变量的函数可以表示为两个分别只含一个变量的函数之积。这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性奇次的，边界条件也是奇次的。研究两
2、端固定的弦的自由振动定解问题解：这是解的分离变量泛定方程：边界条件：初始条件：5研究两端固定的弦的自由振动定解问题（第一类齐次边界条件）由前面思路，设x, t 是相互独立的变量（求非零解）1 1、分离变量分离变量代入方程中，分离过程：得出两个常微分方程 ： 代入边界条件：6高数中结论：2 2、求解本征值问题求解本征值问题7若有二阶常系数线性齐次方程其中p、q为常数，则特征方程为本方程特征方程本方程特征方程r r2 2+=0+=0，由上面结论知，方程的解与，由上面结论知，方程的解与的不同取值有关，分情况讨论：的不同取值有关，分情况讨论：8(1) (2)此时此时X X（x x）=0=0，只有零解，
3、不合题意；，只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；C2是积分常数9非零解(3)则则X X（x x）的一族非零解为）的一族非零解为上解称为满足边界条件的固有解（特征解），上解称为满足边界条件的固有解（特征解）， 称为称为固有值（特征值），固有值（特征值），sinsin函数称为固有函数（特征函数）函数称为固有函数（特征函数）。固得到下面一族解：A、B 是积分常数3 3、解出时间函数，得到一族解解出时间函数，得到一族解时间函数解10解方程 n=1,2,3 代入初始条件，有 一般情况下满足不了，怎么办？！利用叠加原理！114 4、通过初始条件，求出通解通过初始条件，求出通
4、解此时要满足初始条件，则 12则定解问题的最终解为135 5、物理意义：、物理意义：是驻波，（固有振动模式）相邻节点之间距离等于半波长 波长=节点数 n+1 ,位置 lnln nl nlx,) 1(,2, 0-=1415本征频率lnavlann n22,=pwpwn=1 时,1lapw=基频基波（决定了音调） n1 时lan npw=谐频谐波（决定了音色） 波腹波节（4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）6 6、 分离变量法概要：分离变量法概要：（1）将偏微分方程化简为常微分方程（U=XT)（2）确定固有值和固有函数（利用边界条件）（3）确定形式解（级数形式解）1617例：求解（第二类齐次
5、边界条件 ）解 ：设18此时边界条件为 ：相应的特征值 问题为：此时此时X X（x x）=0=0，只有零解，不合题意；，只有零解，不合题意；(1) 19同样只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；(2)非零解(3)20则特征解为则特征解为将特征值代入将特征值代入T T（t t）的方程，解出）的方程，解出则则u u（x x，t t）的特解族为）的特解族为同样很难满足初始条件，由叠加原理得 21此时要满足初始条件，有 22故定解问题的最终解为2.2 有限长杆上的热传导232425此特解仍然很难满足初始条件，由叠加原理得级数解为26由初始条件有 2.3 二维拉普拉斯方程的定解问题（1）圆域因为边
6、界形状是个圆周，圆域边界条件中x、y是不可直接分离的，故化为极坐标求解。2728第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解2930周期本征值问题欧拉方程第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程31根据叠加原理，得到级数解32第三步：利用边界条件利用傅立叶级数系数的求解公式33欧拉方程 常系数线性微分方程附录： 欧拉方程34欧拉方程的算子解法: 35则由上述计算可知: 用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程:36（2）矩形域373839叠加后的级数解为40泛定方程边界条件本征值问题本征值本征函数k=1,2,3 k=0,1,2,3 41k=0,1,2,3 k=0,1
7、,2,3 422.4 非奇次方程的解法研究一根弦在两端固定的情况下，受强迫力作用所产生的振动现象。即考虑下列定解问题：43怎么办？！很明显现在不能直接用前面的变量分离起手式进行分解，因为等式右边的非齐次尾巴没办法处理！现在的情况下，弦的振动和两个原因有关，一是外力，二是初始状态。有否经历过类似情景？是否有可借鉴的类似 情况？44借用结论：这里我们用一招移花接木！全响应=零输入响应+零状态响应零输入=初始状态引起振动，与外力无关；零状态=外力引起振动，与初始状态无关45设解为：初始状态原因 （零输入）外力原因 （零状态 ）46（零输入响应 ）（ 零状态响应 ）47对V（x，t），可直接用前面的变
8、量分类法求出：48对W（x，t），如何求？49505152设解法二535455原方程的解为：56例 在环形域 内求解下列定解问题解由于求解区域是环形区域，所以改选用平 面极坐标系，利用直角坐标与极坐标系之 间的关系57将上述定解问题用极坐标表示出来：利用上节求出的圆域拉普拉斯方程的本征函数，设解为58代入方程并整理得到：比较两端的系数可得59再由边界条件得通解为：求解得60特解有所以有代入边界条件有原定解问题的解为612.5 非齐次边界条件的处理设有定解问题边界条件非齐次，若用前面方法分离变量，由边界条件没有办法得到只与某个常微分方程有关的具体边界函数值。怎么办？！62想办法把边界条件化为齐次
9、！设法作一代换将边界条件化为齐次的，令所以要求选取W(x,t)使V(x,t)的边界条件化为齐次的，即63一般这样的函数是很容易找到的，最简单的如选取关于x的线性函数：代入w（x，t）要满足的边界条件，可求出：64此时关于V的定解问题为因此只要做如下代换，V将满足齐次边界条件。65其中关于V（x，t）的问题即前述非齐次方程、齐次边界条件问题。66当边界条件不同时，方法一致（关键在与w（x，t）的选取），W（x，t）的形式不同。常用的最简单的w（x，t）形式67通过上式可以求出W（x）的形式。注：若f，u1，u2都与t无关，则可选取W（x）（与t无关），使V（x，t）同时满足齐次方程和齐次边界条件
10、，此时W（x）需满足：68此时u（x，t）=V（x，t）+W（x），则V（x，t）满足69例1：求的形式解，其中A,B均为常数。解：令代入方程有70通过二次积分即边界条件求得：则V的方程为：71利用分离变量法，带齐次边界的方程的解为利用第二个初始条件代入第一个初始条件有即72由傅里叶系数公式可得因此，原定解问题的解为：73例2 求定解问题其中b,u1均为常数。解：令代入方程有74分解为两个方程（零输入响应）（零状态响应）75对于问题（I），可以直接采用分离变量法求解。代入有由边界条件有由此得到下面两个常微分方程76易求得特征值和特征函数为：代入含T的方程有77它的通解为从而问题（I）的解可表示
11、为其中Cn由初始条件确定为78故所求的解V（1）(x,t）为对于问题（II），可以用特征函数法求解，将方程的 自由项及解都按特征函数系来展开。79其中vn(t)满足由此可解得80从而问题（II）的解为原方程的解为本章小结分离变量法核心：偏微分方程常微分方程（1）基础 齐次方程+齐次边界条件（直接变量分离法求解）（2）复杂化非齐次方程+齐次边界条件分解为齐次方程+齐次边界条件+非零初始条件（零输入）（直接变量分离法求解）非齐次方程+齐次边界条件+零初始条件（零状态）（固有函数法求解，设出级数解形式，求时间函数）81（3）近一步复杂化非齐次方程+非齐次边界条件1）做代换使边界条件齐次；2）同（2）综上（1）为（2）的基础，（2）为（3）的基础！82
