振动之同方向的简谐振动的合成

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1、范例5.9 同一直线上的简谐振动的合成(1)求任意两个同一直线同频率的简谐振动的合振动；(2)有N个 同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是A，相差都是 ，第一个振动的初相为零。求N个简谐振动的振幅和初相。 (3)求两个相一直线、频率相近的简谐振动的合振动。由于两个振动在同一直线上，因此合振动为 x = x1 + x2 = A1cos(t + 1) + A2cos(t + 2)= (A1cos1 + A2cos2)cost- (A1sin1 + A2sin2)sint令Acos = A1cos1 + A2cos2，Asin = A1sin1 + A2sin2, 则x = Acoscost A

2、sinsint =Acos(t + ),解析(1)如图所示，设有两个独立的同频率的简谐振动， 位移为x1 = A1cos(t + 1)，x2 = A2cos(t + 2)其中xM1Ox2A2P2AA1x1 x当两个分振动同相时 = 2 - 1 = 2k,(k = 0，1，2，.)因为cos(2 - 1) = 1，所以可见：合振幅等于原来两个简谐 振动的振幅之和，振动加强。 当两个分振动反相时 = 2 - 1 = (2k + 1) ,(k = 0，1，2，.)讨论 x = cos(t + ),因为cos(2 - 1) = -1，所以xM1Ox2A2P2AA1x1 x合振幅等于原来两个简谐振动的

3、振幅之差的绝对值，振动减弱。如果A1 = A2，则合振动的 结果使质点处于静止状态 。一般情况下，合振幅介于A1 + A2和|A1 - A2|之间。范例5.9 同一直线上的简谐振动的合成两个振动同相， 合振动加强，振 幅达到0.07m 。如果第一个振 动的振幅和初 相分别为 0.03m和0，第二个振动 的振幅和初 相分别为 0.04m和0，如果两个振动 的振幅不变， 角度分别是0 和90，x2超前 x1的相位/2，合振幅为 0.05m，初 相的度数 达到53。如果将两 个角度数 改为0和 180，则两 个振动反 相，合振 动减弱， 振幅只有 0.01m。如果将两个角度数改为0和- 90，x2滞

4、后x1的相位/2。除了同相和反相 的情况外，合振 动的极大值的横 坐标处在两个分 振动的极大值的 横坐标之间。(2)有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都 是A，相差都是，第一个振动的初相为零。求n个 简谐振动的振幅和初相。n个简谐振动可表示为 x1 = Acost，x2 = Acos(t + )， x3 = Acos(t + 2)，xn = Acost + (n - 1)根据矢量合成法则，这 些简谐振动对应的旋转 矢量的合成如图所示。由于各个振动的振幅相同且相差 恒为，图中各个矢量的起点和 终点都在以C为圆心的圆周上。解析(2)采用旋转矢量法可使问题得到 简化，从而避开烦琐的三角函数运

5、算。设圆的半径为r，每个矢量对 应的圆心角都是 ，因此 全部矢量对应的圆 心角是n，因此这是多个 等幅同频 振动的合 振幅公式 。A 1A2A 3A 4A5AMnCr范例5.9 同一直线上的简谐振动的合成这是多个等幅同频振动的初相公式。(2)有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都 是A，相差都是，第一个振动的初相为零。求N个 简谐振动的振幅和初相。初相为合振动为x = Acos(t + )当0时，有AnA， 0，这就是等幅同频同 相振动合成的情况。如果nA = 2，就是 所有矢量旋转构成一 个正多边形，则A = 0 。振幅这是多个等幅同频振动的振动公式。A 1A2A 3A 4A5AMnC

6、r范例5.9 同一直线上的简谐振动的合成如果有7个分振动，相差依次为20度，各个分振动的振幅相同，位相差恒定。将各个 分振动 叠加之 后，振 幅越来 越大， 初位相 也越来 越大。矢量首尾相接形成多边形的 一部分，最后首尾相接的矢 量就是合振动，合振幅为A = 5.4A ，初相为60度。当各振 动逐级 叠加时 ，合振 幅先增 加再变 小。取10 个分 振动 ，相 差依 次为 30度 。合振幅为A = 1.9 A，初相为135度。取12个分振动，相差依 次为30度，分振动就构 成一个完整的正多边形 ，合振幅为零。如果分振动的相差为零，那 么，正多边形变成一条线。(3)求两个同一直线、频率相近的简

7、谐振动的合振动。x1 = Acos(1t + )，x2 = Acos(2t + )利用和差化积公式可得合振动为可见：两个同方向不 同频率的简谐振动合 成之后不是简谐振动 ，也没有明显的周期 性。当两个分振动的频率比较大而差异比较小时：|2 - 1| 2 + 1，方程就表示了振幅按2Acos(2 - 1)t/2变化 的角频率为(2 + 1)/2的“近似”的简谐振动。这种振动的振幅变化是周期性的， 相对于简谐振动来说是缓慢的。解析(3)设一个质点同时参与两个同一直线不同频率的简谐振 动，角频率分别为1和2，为了突出频率不同所产生的效果， 设分振动的振幅和初相位都相同，因此两个分振动方程为由于余弦函

8、数的绝对值的周期 为，设时间周期为Tp，则有因此拍频如上范例5.9 同一直线上的简谐振动的合成不妨设两 个振动的 初相都为 零，第一 个角频率 为/2，第 二个角频 率比第一 个角频率 大 = /10。每经过 20s， 两个振 动的最 大值重 合。经 过10s ，两个 振动的 极大值 和极小 值重合 。拍频为fp = /2 = 1/20Hz，拍频的周期为T p = 1/fp = 20s 。一条曲线的角频率较大，是两个分振动的角频率的平 均值；另一条曲线的角频率较小，称为调制线。因为质点振幅的改变是周期性的，就形成 时强时弱的现象，这种现象称为“拍”。调制线决定了振幅的范围。两个振动的最大值重合的周期随着发生变化，调制线的周期增大。如果将两 个振动的 角频率之 差改小一 些，例如 = / 15，两个 振动的最 大值重合 的周期随 着发生变 化。拍频为fp = /2 = 1/30Hz，拍频的周期为T p = 1/fp = 30s。