电磁场与电磁波 答案

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1、第一章 矢量分析 第一章 矢量分析 1.1 场的概念1.2 标量场的方向导数和梯度1.3 矢量场的通量和散度1.4 矢量场的环量和旋度1.5 圆柱坐标系与球坐标系1.6 亥姆霍兹定理 第一章 矢量分析 1.1 场的概念 1.1.1 矢性函数 在二维空间或三维空间内的任一点P， 它是一个既存在大小(或称为模)又有方向特性的量，故称为实数矢量，用黑体A表示，而白体A表示A的大小(即A的模)。若用几何图形表示，它是从该点出发画一条带有箭头的直线段，直线段的长度表示矢量A的模，箭头的指向表示该矢量A的方向。矢量一旦被赋予物理单位，便成为具有物理意义的矢量， 如电场强度E、磁场强度H、速度v等等。 第一

2、章 矢量分析 若某一矢量的模和方向都保持不变， 此矢量称为常矢，如某物体所受到的重力。而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会发生变化的矢量，这种矢量我们称为变矢，如沿着某一曲线物体运动的速度v等。设t是一数性变量，A为变矢，对于某一区间Ga, b内的每一个数值t, A都有一个确定的矢量A (t)与之对应，则称A为数性变量t的矢性函数。记为 第一章 矢量分析 而G为A的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则矢性函数A (t)也可用其坐标表示为 其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向单位矢量。 第一章 矢量分

3、析 1.1.2 标量场和矢量场 如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。换句话说， 在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内， 除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的。若该物理量与时间无关，则该场称为静态场； 若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。 第一章 矢量分析 在研究物理系统中温度、 压力、 密度等在一定空间的分布状态时，数学上只需用一个代数变量来描述， 这些代数变量(即标量函数)

4、所确定的场称为标量场， 如温度场T(x, y, z)、电位场(x, y, z)等。然而在许多物理系统中， 其状态不仅需要确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就需要用一个矢量来描述， 因此称为矢量场，例如电场、磁场、流速场等等。 第一章 矢量分析 标量场(x, y, z)的等值面方程为 图 1-1 矢量场的矢量线 第一章 矢量分析 例1-1 求数量场 =(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为 或 第一章 矢量分析 例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy

5、2ez的矢量线方程。解： 矢量线应满足的微分方程为 从而有 解之即得矢量方程 c1和c2是积分常数。 第一章 矢量分析 1.2 标量场的方向导数和梯度1.2.1 标量场的方向导数 图 1-2 方向导数的定义 第一章 矢量分析 设M0是标量场=(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l, 在l上M0的邻近取一点M，MM0=，如图1-2所示。若当M趋于M0时(即趋于零时)， 的极限存在，则称此极限为函数(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为 第一章 矢量分析 若函数=(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可微，cos、cos、cos为l方向的方向余弦，则函数在点M0处沿

6、l方向的方向导数必定存在，且为 证明：M点的坐标为M(x0+x, y0+y, z0+z)，由于函数在M0处可微，故 第一章 矢量分析 两边除以，可得 当趋于零时对上式取极限，可得 第一章 矢量分析 例1-3 求数量场 在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。 解：l方向的方向余弦为 第一章 矢量分析 而 数量场在l方向的方向导数为 在点M处沿l方向的方向导数 第一章 矢量分析 1.2.2 标量场的梯度 标量场(x, y, z)在l方向上的方向导数为 在直角坐标系中，令 第一章 矢量分析 矢量l是l方向的单位矢量，矢量G是在给定点处的一常矢量。 由上式显然可见，当l与

7、G的方向一致时，即cos(G, l)=1 时，标量场在点M处的方向导数最大，也就是说沿矢量G方向的方向导数最大，此最大值为 第一章 矢量分析 在标量场(M)中的一点M处，其方向为函数(M)在M点处变化率最大的方向，其模又恰好等于最大变化率的矢量G，称为标量场(M)在M点处的梯度，用grad(M)表示。在直角坐标系中， 梯度的表达式为 梯度用哈密顿微分算子的表达式为 第一章 矢量分析 设c为一常数，u(M)和v(M)为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。 第一章 矢量分析 例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模 ，即 ， 证明： 证： 因为 第

8、一章 矢量分析 所以 第一章 矢量分析 例1-5 求r在M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。解： 由例1-2知r的梯度为 点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, 所以r在M点处的梯度为 r在M点沿l方向的方向导数为 第一章 矢量分析 而 所以 第一章 矢量分析 例1-6 已知位于原点处的点电荷q在点M(x, y, z)处产生的电位为 ，其中矢径r为r=xex+yey+zey，且已知电场强度与电位的关系是E=-，求电场强度E。 解： 根据f(u)=f(u)u的运算法则， 第一章 矢量分析 1.3 矢量场的通量和散度 1.3.1 矢量场的通量 将曲面的一个面元用矢量dS

9、来表示，其方向取为面元的法线方向， 其大小为dS，即 n是面元法线方向的单位矢量。n的指向有两种情况：对开曲面上的面元，设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的，则选定绕行l的方向后，沿绕行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向，如图1-3(a)所示； 第一章 矢量分析 图 1-3 法线方向的取法 第一章 矢量分析 将曲面S各面元上的AdS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分： 如果曲面是一个封闭曲面，则 第一章 矢量分析 1.3.2 矢量场的散度 称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为 第一章 矢量分析 矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子

10、与矢量A的标量积， 即 第一章 矢量分析 1.3.3 散度定理 第一章 矢量分析 例1-7 已知矢量场r=xex+yey+zez，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H所围封闭曲面的通量。解： 第一章 矢量分析 例1-8 在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为 求穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量(见图 1-4)。 图 1-4 例 1-8 图 第一章 矢量分析 解： 由于球面的法线方向与D的方向一致，所以 第一章 矢量分析 例1-9 原点处点电荷q产生的电位移矢量 ，试求电位移矢量D的散度。 解： 第一章 矢量分析 例 1-10 球面S上任意点的位置矢量为r

11、=xex+yey+zez，求 解： 根据散度定理知 而r的散度为 所以 第一章 矢量分析 1.4 矢量场的环量和旋度 在力场中，某一质点沿着指定的曲线c运动时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线c的线积分，即 第一章 矢量分析 图 1-5 矢量场的环量 第一章 矢量分析 1.4.2 矢量场的旋度 第一章 矢量分析 第一章 矢量分析 第一章 矢量分析 1.4.3 斯托克斯定理 因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上的环量等于闭合曲线c所包围曲面S上旋度的总和， 即 此式称为斯托克斯定理或斯托克斯公式。它将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分

12、。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。 第一章 矢量分析 例1-11 求矢量A=-yex+xey+cez(c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2, z=0的环量(见图 1-6)。 图 1-6 例 1-11 图 第一章 矢量分析 解： 由于在曲线l上z=0，所以dz=0。 第一章 矢量分析 例1-12 求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。解： 矢量场A的旋度 第一章 矢量分析 在点M(1，0，1)处的旋度 n方向的单位矢量 在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度 第一章 矢量分

13、析 例 1-13 在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为 求自由空间任意点(r0)电场强度的旋度E。 第一章 矢量分析 解： 第一章 矢量分析 1.5 圆柱坐标系与球坐标系 1.5.1 圆柱坐标系 图 1-7 圆柱坐标系 第一章 矢量分析 第一章 矢量分析 第一章 矢量分析 哈密顿微分算子的表示式为 拉普拉斯微分算子 2的表示式为 第一章 矢量分析 1.5.2 球面坐标系 图 1-8 球面坐标系 第一章 矢量分析 第一章 矢量分析 故拉梅系数分别为 第一章 矢量分析 哈密顿微分算子的表示式为 拉普拉斯微分算子 2的表示式为 第一章 矢量分析 例1-14 在一对相距为l的点电荷+

14、q和-q的静电场中，当距离rl时，其空间电位的表达式为 求其电场强度E(r, , )。 解： 在球面坐标系中，哈密顿微分算子的表达式为 第一章 矢量分析 因为 第一章 矢量分析 1.6 亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理的简单表达是：若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即 假设在无限空间中有两个矢量函数F和G，它们具有相同的散度和旋度。但这两个矢量函数不等，可令 第一章 矢量分析 由于矢量F和矢量G具有相同的散度和旋度，根据矢量场由其散度和旋度唯一确定，那么矢量g应该为零

15、矢量，也就是矢量F与矢量G是同一个矢量。因为F= G， 所以 同样由于 G= F， 所以 第一章 矢量分析 由矢量恒等式 =0, 可令 在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，可表示为一个无旋场Fd(有散度)和一个无散场Fc(有旋度)之和： 第一章 矢量分析 对于无旋场Fd来说，Fd=0，但这个场的散度不会处处为零。因为，任何一个物理场必然有源来激发它，若这个场的旋涡源和通量源都为零，那么这个场就不存在了。因此无旋场必然对应于有散场，根据矢量恒等式 =0，可令(负号是人为加的) 对于无散场Fc, Fc=0，但这个场的旋度不会处处为零，根据矢量恒等式 ( A)=0，可令 第一章 矢量分析 静电场的基本方程是 对于各向同性的媒质，电通量密度和电场强度的关系为D=E，因而式(1-52)可改写为 (1-52)