可压缩性流体一元稳定流动基本理论

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1、1.5 可压缩性流体 一元稳定流动基本理论 1.5.1 绝热流动的全能量方程及其应用 1.5.1.1 全能量方程对于不可压缩性流体， 为定值，一元稳定流动全能量 方程为：上式说明：不可压缩流体沿流程各个断面上，单位质量流 体的压力能与动能之和相等。同时表明：不可压缩流体在不计位能时，只有压力能和 动能两种能量。常数对于可压缩性流体，可根据气体状态变化过程来确定 与 之间的函数关系。对于绝热过程， 与 之间服从函数关系：根据相关定律进而可得到全能量方程为 ：常数此式即为可压缩流体绝热流动的全能量方程，亦称 为绝热流动的柏努利方程。它与不可压缩流体全能量方程相比较，由于绝热变 化而使压力能增大 倍

2、。式中：k绝热指数。其大小决定于气体分子结构单原子气体：k=1.66；双原子气体（包括空气）：k=1.4；多原子气体（包括过热蒸汽）：k=1.33；饱和蒸汽：k=1.135所谓全能方程，是指能量中包括气体的内能e 。 全能量方程可改写成如下形式：所以，全能量方程的含义是：绝热流动中，任一断面上单位质量气体所具有的压 力能、动能与内能之和为一常数。或者说三种能量之间可以互相转化，但其和保持不 变。对于任意1，2两断面来说，绝热的全能量方程为：或 ：1.5.1.2 用焓表示的全能方程在气体动力学中，常用焓为参数来表示全能方程。从热力学中知道， 压力能与内能之和为焓，即：所以，用焓表示的全能方程为:

3、因为理想气体的焓与定压比热 及绝对温度T之间，具有如下关系:如果将 用温度T表示时，则上式为:或:u 上式说明气体（可压缩）流动与不可压缩液体流动有显著区别：在不可压缩液流中，只有存在热交换才能引起液体温度的改变，而有效断面变化所造成的速度改变，并不引起液体温度的改变；但在可压缩气流中则不然，其温度随流速变化而改变，当流速v小时，则温度T较高，而当v增大时，则T便降低。u 例如高压气体经管道流入背压较低的空间，由于压差很大，管中流速很高，因此气流温度便显著下降，所以管道表面常出现结霜现象，其实质原因就在这里。1.5.2音速 o1.5.2.1音速 声音的来源是由于物体振动。当物体在可压缩介质中振

4、动时，这种振动便引起介质的压力和密度的微弱变化，通常称之为介质的微弱扰动或弱压力波。这种扰动在介质中依次传递下去，就是声音的传播过程。因而，u音速: 是指微弱扰动在可压缩介质中的传播速度。 现在来推导音速公式，如图（a）所示，在充满静止气体的直管 一端，有一面积为A的活塞。当活塞静止时，管中静止气体的 压力和密度分别为p和；当使活塞以微小速度u向前运动时， 而依次压缩其前部的气体，经过t时间后见图（b），这种压缩 的传播在管中形成一个扰动面m-n(或称扰动波头)，其推进速度 即为音速a，扰动后的压力增量为dp、密度增量为d；图（c） 为经过时间t+dt后的情况。按上图所示情况，根据质量守恒和

5、动量原理，来推导音速公式：l（1）质量守恒：在dt时间内，波头m-n所扰动掠过的静止气体的 质量为 。在dt时间后这部分质量由于扰动而被压缩，其密度为 ，其体积为 ，故质量为 ，根据质量守恒则必须 ，由此可得(1) （2）动量守恒：由于质量 在时间dt前是静止的，因而其运动 速度u=0，但在时间dt后，由于活塞的移动而被压缩成 ，同 时开始获得与活塞运动相同的速度u。 这块气体其内侧压力为 ，而外侧为静止气体其压力为 。根据动量原理Ft=m(u2-u1)， 有：简化得：由式及消去u，可得(2)u 由于微弱扰动， 为极小值，故 与1相比则为高阶微量，故可略去，于是音速公式可表示为u 上式表明，音

6、速a决定于 ，其物理意义是：单位密度改变所需要的压强改变。此压强改变愈小，即音速a愈小，则说明气体是容易压缩的，反之音速a愈大，则不容易压缩。u 因此，音速可以作为一种表征流体压缩性的指标。 （3）u 在实际应用中，必须根据气体状态变化过程所服从的状态参数关系来确定其音速。例如绝热过程 ，则 ，所以绝热过程的音速：或 （5）u 由上两式可以看出，气体的音速决定于压力与密度的比 值，即决定于开尔文温度。因此绝热过程空气中的音速公式为：在海平面上（常指地球表面），15时空气中音速为：（4）（6）1.5.2.2 滞止参数o滞止参数：介质处于静止（如贮气罐中的气体）或滞止（如气体撞于壁面或皮托管口上）

7、时，其速度 v0 的参数，称为滞止参数，一般以 等来表示。 o 若可压缩气体从某容器中流出，断面11取在容器内，则各参数为滞止参数；断面22代表容器所连接管道上任一断面（去掉下脚标2）。根据全能量方程有：l式中： 称为滞止介质音速；称为流动介质音速或当地音速 。(7)u 从上式可以看出，对于滞止参数为定值情况下，空气中音速 （即当地音速）的大小取决于气流速度v （即当地速度）。当气流速度沿流动方向增大时，气流温度 T必下降，因而当地音速必减小。由于当地速度 v 的存在，在同一系统中当地音速 总是小于滞止音速 的。1.5.2.3 马赫数及参数比 基于上述，气流速度v若大，则当地音速便减小， 从音

8、速物理意义知，音速a 越小则流体越容易压缩。这 就是说：气流速度v越大时，则压缩现象便越显著。马 赫首先将影响压缩效果的v与a两个物理量联系了起来， 取v与a之比的无量纲数，并以Ma表示，即 Ma = u马赫数Ma：是指扰动源（气流）的运动速度与当地音速的比值。 Ma1的流动称为超音速流动。 利用（7）式的第二式，可以求出温度比为 借助于理想气体状态方程和绝热方程，经过演算后，可得即有（8）（9）u于是可得各参数比与马赫数的关系为：l 上式表示了各参数比，都是马赫数Ma的函数。l 显然，随Ma数的增大（即气流速度v增大），则气流的温度T、压强p和密度 便减小。因此可以说Ma数是判断压缩性影响程

9、度的指标。（10）1.5.3气流参数与流通截面的关系、临界参 数1.5.3.1气流速度与断面关系从连续性方程知道，不可压缩流体沿管道流动时， 其速度与断面积成反比。但在可压缩气流中，速度与面积 之间存在什么关系？这就是我们将要研究的内容。将已求得的连续性方程 vA=C（常数）微分，则得v/a = Ma由：得：u对上式进行分析，可得出下列重要结论： (1) 若Ma1，即va为超音速流动。这时（Ma2-1）0，则dv与dA符号相同。这表明，气体作超音速流动时，速度与断面成正比变化关系，即速度随断面的减小而减小，随断 面的增大而增大（如图b所示）。这种速度与断面成正比变化规律，是超音速流动同亚音速流

10、动的原则性区别。这两种截然相反的规律，是可压缩流体在两种流动中，其膨胀程度与速度变化之间，具有不同规律所造成的。下面来阐明一下这个道理：p 1.5.3.2密度与速度的关系由 、音速公式及Ma数关系，可导出： l 对上式进行分析，可得如下重要物理概念：1）当Ma1 时，Ma2远远大于1，则上式表明密度的相对变化（d ）远远大于速度的相对变化（dv/v），即密度变化比速度变化来的快。可见，在密度相对变化的特性上，超音速与亚音速有着显著的差别。1.5.3.3速度与单位面积质量流量的关系 p 就单位面积的质量流量（ v）来说，其微分为：所以，单位面积的质量流量的相对变化，则为：将密度变化与速度变化关系

11、式代入，可得：u对此式进行讨论，可得如下结论： 当Ma0，则 与dv符号相同， 随v的增大而增大，随v的降低而减小。因此当 时， ， 根据连续性程 ，则必有 A1A2。所以亚音速流动中速度与断面成反比变化。 当Ma1时，（1-Ma2）a流入扩张管道见图a，由于断面扩大，气流膨胀流速增大。因此速度仍为超音速，且越来越大。这说明不会出现音速，也就不可能有最大临界断面； 反之，如果气流以亚音速va流入扩张管道见图b，由于断面的扩大而使流速降低。因此速度仍为亚音速，永远不会达到音速。这就证明了临界断面只能是最小断面。根据分析：对于初始断面为亚音速的一股收缩形气流（见图a），不可能得到超音速流动，最多是

12、在收缩管出口断面上达到音速。因为在收缩管中间断面上不可能有dA=0的最小断面。u 为了得到超音速气流，可使亚音速气流流经收缩管，并使其在最小断面上达到音速，然后再进入扩张管，满足气流的进一步膨胀增速，便可获得超音速气流。p 这就确定了从亚音速获得超音速的喷管（见图b），此种喷管为拉伐尔（Laval）首先采用，故称为拉伐尔喷管。p 拉伐尔喷管是由收缩段、喉管（即临界断面）及扩张段三部分所组成。它是使气流从亚音速到超音速的一种喷管。p 在图c上表示了沿拉伐尔管长度方向上，断面A、速度v、压力p的变化特性。 （2）临界参数比在临界断面上马赫数Ma=1，代入式（10）中可得各临界参数与滞止参数之比为：

13、(11)n上式表明，临界参数只与气体绝热指数及滞止参数有关。n对于空气k=1.4，代入上式则有：Te=0.834T0 pe=0.528p0 =0.634 ae=0.915a01.5.4 高压气体经管嘴的流动o布袋除尘器中的反吹喷嘴、吹芯机中的吹砂孔等都是高压气体经收缩管嘴、孔口的流动问题。如图所示，容器尺寸比管嘴或孔口的口径大得多，故可以认为v0=0，即容器中气体处于滞止状态，其参数以p0， ，T0，a0等表示。高压气体是经过断面积为A的出口，流到参数为p， ，T的外部介质中。u 经管嘴或孔口流动的气体动力学问题，有下述两种情况： （1）在滞止参数、外部介质参数以及出口断面积已知时，计算出口速度v 和质量流量Qm；（校核） （2）在滞止及外部介质参数已知条件下，按所需要的质量流量，来设计出口尺寸。（设计）l 在这类问题中流速较高，远远大于热量的传递速度，所以均按绝热过程处理。列容器中和出口两断面的全能量方程：注意到 的关系，可得出口速度为或 式中 称为压强比。上式表明，出口速度只决定于滞止参数p0，0 （或T0）以及外部介质压强 p。计算质量流量时