位移法位移法

《位移法位移法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《位移法位移法（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1第八章 位 移 法81 概述82 等截面直杆的转角位移方程83 位移法的基本未知量和基本结构84 位移法的典型方程及计算步骤85 直接由平衡条件建立位移法基本方程86 对称性的利用281 概 述力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立于上世纪初。力法位移法以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程，求出位移后再计算内力。 以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力法方程，求出内力后再计算位移。返返 回回3位移法的基本概念以图示刚架为例予以说明123EI=常数P刚架在荷载P作用下将发生如虚 线所示的变形。Z1Z1在刚结点1处发生转 角Z1，结点

2、没有线位移。则12杆可 以视为一根两端固定的梁（见图）。1PZ12其受荷载P作用和支座1发生转角Z1 这两种情况下的内力均可以由力法 求。同理， 13杆可以视为一根一端 固定另一端铰支的梁（见图）。13Z1而 在固定端1处发生了转角Z1，其内 力同样由力法求出。可见，在计算刚架时，如果以 Z1为基本未知量，设法首先求出Z1， 则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。Z1返返 回回4由以上讨论可知，在位移法中须解 决以下问题：（1）用力法算出单跨超静定梁在杆 端发生各种位移时以及荷载等因素作 用下的内力。（2）确定以结构上的哪些位移作为 基本未知量。（3）如何求出这些位移。下面依次讨论这些

3、问题。返返 回回582 等截面直杆的转角位移方程本节解决第一个问题。用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。 计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应 用方便，首先推导杆端弯矩公式。如图所示，两端固定的等截 面梁，ABLEIPt1 t2ABABABAB除受荷载及温度变化外， 两支座还发生位移：转角 A、 B及侧移AB 。转角A、 B顺时 针为正， AB则以整个杆件顺 时针方向转动为正。 在位移法中，为了计算方便，弯 矩的符号规定如下：弯矩是以对杆 端顺时针为正(对结点或对支座以 逆时针为正)。 图中所

4、示均为正值。MAB AMBAB返返 回回6ABLEIPt1 t2ABABABAB用力法解此问题，选取基本 结构如图。Pt1 t2X1 X2X3多余未知力为X1、X2。 力法典型方程为 11X1+12X2+ 1P+ 1t+ 1=A21X1+22X2+ 2P+ 2t +2=B为计算系数和自由项，作、 、MP图。图1 图1MP图XAXB由图乘法算出：，ABAB由图知这里，AB称为弦转角，顺时针为正。1t、 2t 由第七章公式计算。返返 回回7将以上系数和自由项代入典型方程，可解得X1=X2=令称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用MBA代替X2，上式可写成MAB= 4iA+2i BMBA= 4

5、i B +2i A(81）式中 (82）是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆端 弯矩，称为固端弯矩。返返 回回8MAB= 4iA+2iB _MBA= 4iB +2iA_(81）式(81）是两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常 称为转角位移方程。对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)， 其转角位移方程可由式(81）导出，设B端为铰支，则因AB EIP t1 t2 lMBA= 4i B +2i A_=0可见，B可表示为A、AB的函数。将 此式代入式(81)第一式，得 MAB=3iA(83）（转角位移方程）式中（84）（固端弯矩） 杆端弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出。

6、有返返 回回983 位移法的基本未知量和基本结构在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。(1) 独立角位移数目的确定由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可 知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。 1.位移法的基本未知量这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。例如图示刚架123456独立的结点角位移 数目为2。 返返 回回10(2)独立线位移数目的确定在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。

7、但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于 是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就 相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一 个独立线位移(侧移)。例如(见图a） 1234564、5、6 三个固定 端 都是不动的 点，结点1、2、3均无竖向位移。 又因两根横梁其长度不变，故三个 结点均有相同的水平位移 。P(a)事实上，图(a)所示结构的独立线位 移数目，与图(b)所示铰结体系的线 位移数目是相同的。因此，实用上 为了能简捷地确定出结构的独立线 位移数目，可以(b)将结构的刚结点(包括固定支 座)都变成铰结点(成为铰结体系), 则使其成为几何不变

8、添加的最少 链杆数，即为原结构的独立线位 移数目(见图b)。返返 回回112.位移法的基本结构用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静 定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根 单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结 点转动),同时在有线位移的结点上 加上附加支座链杆(阻止结点移动)。123456例如 ( 见图a) (a)又例如(见图b)(b)234567共有四个刚结点，结点线位移 数目为二，基本未知量为六个。 基本结构如图所示。1基本未知量三个。返返 回回1284 位移法的典型方程及计算步骤 以图(a)所

9、示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知 量的方程及具体计算步骤。PL1234EI=常数基本未知量为:Z1、Z2 。Z1Z2基本结构如图(b)所示。(a)(b)基本结构1234=Z1Z2R1=0=0PR1附加刚臂上的反力矩 R2附加链杆上的反力 据叠加原理,=Z1R211234134PR2P 12234则有 R1=R11+R12+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=0R22R2R12R11R1PZ2返返 回回13R1=R11+R12+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=0式中第一个下标表示该反力的位置， 第二个下标表示引起该反力的原因。设以 r11、r12分别表示由单位位移

10、所引起的刚臂上的反 力矩， 以 r21、r22分别表示由单位位移所引起的链杆 上的反力，则上式可写成 r11Z1+ r12Z2+R1P=0 r21Z1+ r22Z2+R2P=0(85)这就是求解Z1、Z2的方程，即 位移法基本方程(典型方程)。 它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移的共同作用 下，每一个附加联系中的附加反力矩或反力都应等于零(静力平衡条 件)。 对于具有 n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n 个方程：r11Z1+ + r1iZi+ + r1nZn+R1P=0 ri 1Z1+ + ri iZi+ + ri nZn+Ri P=0 rn1Z1+ + rniZi+ +

11、rnnZn+RnP=0 (86）返返 回回14r11Z1+ + r1iZi+ + r1nZn+R1P=0 ri 1Z1+ + ri iZi+ + ri nZn+Ri P=0 rn1Z1+ + rniZi+ + rnnZn+RnP=0 (86）在上述典型方程中，rii 称为主系数，rij(ij) 称为副系 数。RiP称为自由项。主系数恒为正，副系数和自由项可 能为正、负或零。据反力互等定理副系数 rij=rji (ij)。由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移 所引起的附加联系的反力(或反力矩)，显然，结构刚度愈 大，这些反力(或反力矩)愈大，故这些系数又称为结构的 刚度系数。因此位移法典

12、型方程又称为结构的刚度方程， 位移法也称为刚度法。返返 回回15以及载荷作用下的弯矩图为了计算典型方程中的系数和自由项，可借助于表81，绘 出基本结构在和MP图：1342134213424i2i3iP MP图系数和自由项可分为两类：附加刚臂上的反力矩 r11、r12、和 R 1P；是附加链杆上的反力 r21、r22和R2P。r21 r22R2P(a)(b)(c)可分别在图(a)、(b)、(c) 中取结点1为隔离体，111r113i4ir120R1P0由力矩平衡方程M1=0求得：r11=7i , R1P=。r11=7i ,R1P=， 对于附加链杆上的反力，可分别在图(a)、(b)、(c）中用截面

13、法割断 两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表81查出杆端 剪力，12121200由方程X=0求得r21=R2P=P/2r21r22R2PR 1Pr12r11返返 回回16将系数和自由项代入典型方程(85)有解此方程得所得均为正值，说明Z 1、Z2与所设 方向相同。 最后弯矩图由叠加法绘制：例如杆端弯矩M31为M图1234PM图绘出后，Q 、N图即可由平衡条件绘出(略）。返返 回回17最后对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核。其 方法与力法中所述一样，这里从略。 结结 论论由上所述，位移法的计算步骤归纳如下：(1) 确定结构的基本未知量的数目(独立的结点角位移和线位移)，并引入

14、附加联系而得到基本结构。(2) 令各附加联系发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。 返返 回回18例 81 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a 及转角=a/L，试绘其弯矩图。ABCEI2EILLA a解：基本未知量 Z 1(结点C转角)；Z 1基本结构如图示；ABCZ 1基本结构建立位移法典型方程： r11Z1+R1=0 为计算系数和自由项，作 和M图(设EI/L=i) ABCZ 1=1b8i4i3iABCM图基本结构由于支座位移产 生的固端弯矩(由表81)查得20i16i12i8i3i 由求得r11=8i+3i=11i 由M图求得12i 16iR1=16i+12i=28iR1r11R1返返 回回19将上述系数和自由项代入典型方程，便有 11iZ1+28i=0解得Z1=刚架的最后弯矩图为ABCABCZ 1=1 8i4i3iABCM图20i16i12i例如： MAC= 4i+20i=M图R1返返 回回