第二章 单层的刚度与强度

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1、复合材料结构设计回顾前节p复合材料(composite material)的定义与分类p复合材料结构设计的学习内容p本课程的研究对象 连续纤维增强的聚合物基层合结构复合材料的力学性能p本课程的任务 根据材料力学知识，选择最经济，且具有足够刚度、强度 和稳定性的材料，并设计出满足需求的构件。p复合材料结构设计的步骤和原则l三步走l相容性原则2009-11-2第二章 单层的刚度与强度2.0 胡克定律 2.1 单层的正轴刚度 2.2 单层的偏轴刚度 2.3 单层的强度本章重难点p重点l拉压胡克定理和剪切胡克定理l单层正轴刚度的三种表示方式l单层偏轴刚度的表征l单层强度的表征p难点l应力-应变关系的理

2、解l各种模量的计算(线性代数中的矩阵运算)2009-11-4单层板p单层板(简称单层)是构成层合结构复合材料的基本单 元。因此，研究单层的刚度 与强度是研究层合板刚度与 强度的基础。2009-11-5p单层板由基体材料(matrix)和增强材料 (reinforcement)组成。基体材料是连续的相，增强材料均匀地分散在基体中，对基体的性能起到改进作 用。复合材料力学的分析方法p宏观力学(macro-mechanics)方法忽略两相材料各自的性能差别及其相互作用，将 两相材料的影响反应在平均的表现性能上。p细观力学(micro-mechanics)方法考虑两相材料的各自性能及其相互作用，研究其

3、 如何反应在平均的表观性能上。2009-11-6在本章中采用宏观力学方法 研究单层的刚度和强度！2.0 胡克定律(HOOKES LAW)2.0.1 外力、内力和应力 2.0.2 弹性形变和应变 2.0.3 拉压胡克定律 2.0.4 剪切胡克定律 2.0.5 各向同性体的工程弹性常数2.0.1 外力 内力 应力p外力 外力是材料受到的来自外界的作用力 ，如拉力、重力、万有引力、电磁力 等。p内力 内力是材料内部各部分相互间的作 用力。内力总是成对出现。2009-11-82.0.1 外力 内力 应力p应力 应力()是截面单位面积上的内力，单位为牛/平方 米(N/m2)，即帕斯卡。正向应力：应力在截

4、面法线方向上的投影切向应力：应力在垂直于截面法线(切线)方向的 投影2009-11-9应力与压强是什么关系？2.0.2 弹性形变和应变p弹性形变的定义 在外力的作用下，物体都会发生形变。当外力撤 去以后，能够恢复的那部分形变叫弹性形变。只 发生弹性形变的物体叫做弹性体。p弹性形变的分类l拉压形变：在拉力或压力作用下的形变l剪切形变：在力偶作用下物体的两个平行截面发 生相对平行移动的形变。这对力偶叫做一对剪切 力。2009-11-10任何形变都是拉压形变和剪切形变的组合！2.0.2 弹性形变和应变p拉压形变和拉应变 定义：轴向线应变横向线应变可见，和符号相反定义泊松比2009-11-112.0.

5、3 拉压胡克定律拉压胡克定律：当拉应力不超过极限时，拉 应力与拉应变成正比。2009-11-12在弹性限度以内，杆的伸长(缩短)量l与杆受到的 外力P、杆的原长l、横截面面积A有如下关系：由应力和应变 的定义得到E为拉压弹性模量2.0.4 剪切胡克定律2009-11-13切应力和切应变之间满足 剪切胡克定律:G为剪切弹性模量剪切胡克定律：当剪切应力不超过极限时， 剪切应力与剪切应变成正比。2.0.5 各向同性体的工程弹性常数2009-11-14对各向同性材料，剪切弹性模量G和拉压弹性模量E ，泊松比之间满足：G, E和为工程弹性常数描述材料的刚度性能独立常数为2.2.1 单层的正轴刚度2.1.

6、1 单层的正轴应力-应变关系 2.1.2 各种复合材料的单层正轴刚度2.1.1 单层的正轴应力-应变关系2009-11-16p刚体 l定义:在力的作用下,物体内任意两点之间 的距离保持不变 l特点:理想模型,实际中并不存在p刚度 l受外力作用的物体(材料、构件、结构等) 抵抗变形的能力。能力越强，刚度越大。 p正轴 l单层材料的弹性主方向 p正轴刚度 l单层在正轴上所显示的刚度性能2.1.1 单层的正轴应力-应变关系1和2表示材料的弹性主方向(正轴向) 1为纵向(沿纤维方向) 2为横向(垂直于纤维方向)1 和2是正应力，12为切应力 1 和2为正应变，12为切应变2009-11-17应力正方向

7、的规定： 正应力：拉为正，压为负 切应力：正面正向或负面负向为正，其余均为负 应变正方向的规定： 正应变：伸长为正，缩短为负 切应变：与坐标方向一致的直角减小为正，增大为负2.1.1 单层的正轴应力-应变关系通过三个实验来确定应力-应变关系 (1) 纵向单轴实验：仅1方向承受12009-11-18(2) 横向单轴实验：仅2方向承受2(3) 面内剪切实验2.1.1 单层的正轴应力-应变关系变形得到应变-应力关系为：2009-11-19E1：纵向弹性模量 E2：横向弹性模量 1：纵向泊松比 2：横向泊松比 G12：面内剪切弹性模量以上5个参数称为单层的正轴工程弹性常数其中独立的常数有几个呢?(2-

8、1)2.1.1 单层的正轴应力-应变关系p功的互等定理： 如在某线性弹性体上作用两组广义力,则第一组力 在第二组力引起的位移上所作的功,等于第二组力 在第一组力引起的位移上所作的功.2009-11-20单层独立的正轴工程弹性常数为4 个。可得:把 和 的值代入并变形得:2.1.1 单层的正轴应力-应变关系把上述应变-应力关系写成矩阵形式：2009-11-21作如下定义：柔量分量用柔量分量表示的应变-应力关系为：(2-2)2.1.1 单层的正轴应力-应变关系则应力-应变关系为：2009-11-22模量分量 (与柔量分量互逆)如何求逆矩阵？1.求行列式的值 2.求伴随矩阵 3.求逆矩阵 (2-3)

9、2.1.1 单层的正轴应力-应变关系描述单层的正轴刚度有三种形式(均有4个独立量),即 工程弹性常数; 柔量分量; 模量分量 这三种形式可以互换,但又各有用处: : 可由简单实验测定E1 , E2 , G12 ,1即可,各参数物理意义明确; : 是应变-应力关系式的系数,用来根据应力求应变; : 是应力-应变关系式的系数,用来根据应变求应力.2009-11-23实际复合材料工程中,经常碰到正方对称单层的情况,如1:1经纬交 织布成型的玻璃钢其单层就是这种情况,此时,它的刚度参数存在 如下关系:Q11 = Q22 , S11 = S22 , E1=E2这种材料的独立工程弹性常数只有3个.回顾上节

10、p胡克定律l拉压胡克定律l剪切胡克定律p应力与应变p各向同性材料的工程弹性常数p单层的正轴工程弹性常数p单层的正轴模量分量p单层的正轴柔量分量2009-11-242.1.2 复合材料的单层正轴刚度2009-11-25单层为正交各向异性的材料时，工程弹性常数的限 制条件：可利用上式限制条件来判断材料的实验数据或正交各 向异性的材料模型是否正确。例题2.1已知铝的工程弹性常数E=69GPa, G=26.54GPa, =0.3, 试求铝的柔量分量和模量分量。解：由于铝是各向同性材料，所以有： E1=E2=E=69GPa, G12=G=26.54GPa, 1=2=0.31)柔量分量2009-11-26

11、例题2.12)模量分量2009-11-272.2 单层的偏轴刚度2.2.1 应力转换与应变转换公式 2.2.2 单层的偏轴应力-应变关系 2.2.3 单层的偏轴模量 2.2.4 单层的偏轴柔量 2.2.5 单层的偏轴工程弹性常数求单层的偏轴刚度的方法通过应力与应变的转换,将正轴下的应力-应变(应变 -应力)关系转变为偏轴下的应力-应变(应变-应力)关系, 从而确定偏轴下的模(柔)量分量与正轴模(柔)量分量之 间的转换关系。由此再进一步得到偏轴工程弹性常数 和正轴工程弹性常数之间的转换关系式。2009-11-291应应力转变转变 关系:由正轴应轴应 力求偏轴应轴应 力2应变转换应变转换 关系:由

12、正轴应变轴应变 求偏轴应轴应 变变3求偏轴应轴应 力-应变应变 关系4求偏轴轴柔(模)量分量2.2.1 应力转换与应变转换公式y-x坐标系为偏轴方向, 2-1坐标系为正轴方向, 称为铺层角,为从x轴转至1轴的角度,逆时针为 正.2009-11-30设三角形竖直边的横截面积为 ,由三角形在x轴方向的受 力平衡可得:消去 ,进行整理后得到:1) 求应力转变关系2.2.1 应力转换与应变转换公式2009-11-31同理可得到:将以上三式写成矩阵形式,可得到:其中:2.2.1 应力转换与应变转换公式完整的应力转换关系为：2009-11-32(2-4)(2-5)2.2.1 应力转换与应变转换公式1方向为

13、对角线方向 dx和dy是矩形的边长 dl为对角线的长度 因为形变量较小，所以形变前后的夹角均为可得：2009-11-332) 求应变转变关系因为 所以有2.2.1 应力转换与应变转换公式综合x， y， xy三者的贡献，可以得到下面的关系：2009-11-34同理可得：写成矩阵形式：(2-6)2.2.1 应力转换与应变转换公式2009-11-35变形得到完整的应变转换关系为：(2-7)2.2.2 单层的偏轴应力-应变关系将式(2-3)代入式(2-4)中，得到：2009-11-36再将式(2-6)代入上式，得到偏轴的应力-应变关系：(2-8)2.2.2 单层的偏轴应力-应变关系将(2-8)式简写为

14、：2009-11-37(i, j=1, 2, 6)称为偏轴模量分量， 再将(2-8)式右边作矩阵运算，并与上式对照，得：(2-10)(2-9)2.2.2 单层的偏轴应力-应变关系将式(2-5)代入式(2-2)再代入(2-7)中，得偏轴的应变-应 力关系：2009-11-38(2-11)将(2-11)式简写为：(2-12)(i, j=1, 2, 6)称为偏轴柔量分量2.2.2 单层的偏轴应力-应变关系将(2-11)式右边作矩阵运算，与(2-12)式对照，得：2009-11-39(2-13)偏轴模量和偏轴柔量互逆：偏轴柔量和偏轴模量均 为6个2.2.3 单层的偏轴模量上节(2-10)式和(2-13)式给出了由偏轴的应力- 应变关系确定的偏轴模量与正轴模量的转换关 系式，两式中矩阵的个元素均以m，n的幂次方 形