[经济学]第4章_异方差性

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1、第四章 异方差性内容安排4.1 异方差性的概念 4.2 异方差性产生的原因 4.3 异方差性产生的后果 4.4 异方差性的检验 4.5 异方差性的解决方法 4.6 案例4.1 异方差性的概念4.1.1 对古典假定的再讨论4.1.2 什么是异方差性附录 实际经济问题中的异方差性基本假定违背：不满足基本假定的情况。主要包括： （1）随机误差项序列存在异方差性； （2）随机误差项序列存在序列相关性； （3）解释变量之间存在多重共线性； （4）解释变量是随机变量且与随机误差项相关（随机解释变量）；此外： （5）模型设定有偏误； （6）解释变量的方差不随样本容量的增大而收敛。4.1.1 对古典假定的再讨

2、论对于模型如果出现即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。4.1.2 什么是异方差性1.异方差的定义2. 异方差的类型同方差性假定：i2 = 常数 f(Xi)异方差时： i2 = f(Xi)异方差一般可归结为三种类型：(1)单调递增型： i2随X的增大而增大(2)单调递减型： i2随X的增大而减小(3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式附录 实际经济问题中的异方差性例4.1.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为Yi=0+1Xi+i Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入高收入家庭：储蓄的差

3、异较大低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 i的方差呈现单调递增型变化例4.1.2：以绝对收入假设为理论假设、以截面 数据为样本建立居民消费函数：Ci=0+1Yi+I将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样 本观测值。一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入 组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均 数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值 的不同而不同，往往引起异方差性。例4.1.3：以某一行业的企业为样本建立企业生产 函数模型Yi=Ai1 Ki2 Li3ei被解释变量：产出量Y解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么：每个企业所处的外部环境

4、对产出量的影响被 包含在随机误差项中。每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不 同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量 观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。4.2 异方差性产生的原因 1.模型省略了某些重要的解释变量； 2.模型函数形式设定有误； 3.由于样本数据测量误差引起的； 4.截面数据中总体各单位的差异； 随机因素的影响。4.3 异方差性产生的后果计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采 用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：1.参数的最小二乘估计值仍是无偏的，但不 再有效。OLS估计量仍然具有无偏性。在证明无偏性时，没有用到方差，故无影响

5、。OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性 因为在有效性证明中利用了 E()=2I而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有 一致性，但仍然不具有渐近有效性。3.参数估计值的显著性检验失效。变量的显著性检验中，构造了t统计量其他检验也是如此。2.无法正确估计参数的标准误差和估计区间。4.预测的精确度降低。一方面，由于上述后果，使得模型不具有 良好的统计性质；所以，当模型出现异方差性时，参数OLS 估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测 误差变大，降低预测精度，预测功能失效。4.4 异方差性的检验 检验思路：由于异方差性就是相对于不同的解释变量 观测值，随机误差项具有不同的方差。那么 ：检验异

6、方差性，也就是检验随机误差项的 方差与解释变量观测值之间的相关性及其相 关的“形式”。问题在于用什么来表示随机误差项的方差一般的处理方法：4.4.1 图示检验法（1）相关图分析看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂 型趋势（即不在一个固定的带型域中）同方差 递增异方差 递减异方差 先减后增 先增后减YX（残差图分析）先增后减EViews实现11.应用普通最小二乘法估计结果； 2.X-Y的散点图：打开组群group01，点击 viewgraph scatter XYpairs; 3.Xe散点图图：点击击工作文件窗口中的Genr, 在对话对话 框中输输入e=resid2,重复Genr,输输入 lnx

7、2=log(x2),工作文件窗口中新增序列e、 lnx2，将lnx2和e以组组群的形式打开，点击 viewgraph scatter XYpairs；4.4.2 斯皮尔曼等级相关检验法4.4.3 戈德菲尔德-匡特 (Goldfeld-Quandt)检验G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容 量较大、异方差递增或递减的情况。G-Q检验适用条件 样本容量较大（一般不低于参数个数的两 倍以上） 异方差递增或递减； 满足其他古典假定。G-Q检验的思想：先将样本一分为二，对子样和子样分别作 回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统 计量进行异方差检验。由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的 异方

8、差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差） 、或小于1（递减方差）。样本13n/8n/43n/8样本2图示： G-Q检验的思路G-Q检验的步骤：将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小排队 将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下 的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本 ，每个子样样本容量均为(n-c)/2 对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的 残差平方和提出假设：两个子样方差相等；在同方差性 假定下，构造如下满足F分布的统计量给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)， 若F F(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设，表 明存在异方差。当然，还可根据两个残差平方和对应的子

9、样 的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差 。EViews实现21.Procs/Sort Seris Sort Key/x2 Ascending OK； 2.检验一下：双击group01,然后关闭; 3.双击工作文件中的Sample,输入样本范围，双击 group01 ，procs/make Equation，保存； 4.双击工作文件中的Sample,输入样本范围，双击 group01 ，procs/make Equation，保存； 5.6.=0.05，查表F（n-c/2-k-1,n-c/2-k-1)； 7.FF =0.05，存在异方差。4.4.4 帕克(Park)检验4.4.5 戈里瑟(

10、Gleiser)检验基本思想:偿试建立方程：或选择关于变量X的不同的函数形式，对方程进 行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函 数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存 在异方差性。如： 帕克检验常用的函数形式： 或若在统计上是显著的，表明存在异方差性。注意：辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的 显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释 变量的更高次方。如果存在异方差性，则表明确与解释变量的 某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有 较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。当然，在多元回归中，由于辅助回归方程 中可能有太多解释变量，从而使自由度减少， 有时可去掉交叉项。EViews实现3

11、（帕克(Park)检验）1.运用最小二乘法作基本回归； 2.Genr lne=log(resid2), Genr lnx=log(x) ; 3. 对lne和 lnx运用最小二乘法作基本回归； 4. 对新的回归结果进行=0.05的系数显著性检 验（t检验）； 5.如接受原假设，即系数为0， lne和 lnx 之间 无显著性相关关系，则不存在异方差。EViews实现3（戈里瑟(Gleiser)检验）1.运用最小二乘法作基本回归； 2.Genr e2=abs(resid), Genr x1=1x, Genr x2=x2, Genr x3=1x2, Genr x4=sqr(x), Genr x5=1s

12、qr(x), ; 3. 分别对e2与 x、x1、 x2、 x3、 x4、 x5运 用最小二乘法作基本回归，并对回归结果进行 =0.05的系数显著性检验（t检验）； 4.如接受原假设，即系数为0，e2与 x、x1、 x2、 x3、 x4、 x5之间无显著性相关关系，则 不存在异方差。4.4.6 怀特（White）检验怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）：然后做如下辅助回归可以证明，在同方差假设下：(*)R2为(*)的可决系数，h为(*)式解释变量的个数，表示渐近服从某分布。White检验的具体步骤为： （1）估计回归模型，并计算e2i ； （2）估计辅

13、助回归模型； （3）计算辅助回归模型的R2；可以证明，在同方差的假设下，有:nR22(n)q：辅助回归模型中的自变量个数（此时n=5）。 （4）给定，若nR(n)，存在异方差性；反之 ，不存在。 EViews实现41.运用最小二乘法作基本回归； 2.ViewResidul TestWhite Heteroskedasticity(no cross termcross term); 3. 找出统计量nR= ； 4. =0.05,查表(q),辅助回归方程中含自变量 项的个数； 5.比较nR、(q)，若nR(q)，则存在异方差 。4.4.7 ARCH检验具体步骤：1.模型变换法的定义：模型变换法是对

14、存在异方差的总体回 归模型作适当的代数变换，使之成为满足 同方差假定的模型，然后就可以运用OLS 方法估计参数了。 4.5.1 模型变换法4.5 异方差性的解决方法2.模型变换法的关键 模型变换法的关键是事先对异方差 2i = 2 f( xi )的形式有一个合理的假设。 怎样才能提出合理的假设呢？（1）通过对具体经济问题的经验分析（2）通过上述Glejser检验结果所提供 的信息加以确定f(xi)的常用形式：3.模型变换法的变换过程4.举例模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘法（ Weighted Least Squares, WLS）进行估计。基本思想：加权最小二乘法是对原模型加权， 使

15、之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后 采用OLS估计其参数。在采用OLS方法时:对较小的残差平方ei2赋予较大的权数，对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。4.5.2 加权最小二乘法例如，如果对一多元模型，经检验知：新模型中，存在 即满足同方差性，可用OLS法估计。一般情况下:对于模型Y=X+存在 即存在异方差性。 W是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D使得W=DD 用D-1左乘 Y=X+两边，得到一个新的模型： 该模型具有同方差性。因为 这就是原模型 Y=X+的加权最小二乘估计量，是无偏、有效的估计量 。 这里权矩阵为D-1，它来自于原模型残差项 的方差-协方差矩阵2W 。如何得到2W ？

16、从前面的推导过程看，它来自于原模型残差项 的方差-协方差矩阵。因此仍对原模型进行OLS估计，得到随机误差项 的近似估计量i，以此构成权矩阵的估计量，即这时可直接以 作为权矩阵。 注意：在实际操作中人们通常采用如下的经验 方法：不对原模型进行异方差性检验，而是直 接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数 据作样本时。如果确实存在异方差，则被有效地消除 了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘 法等价于普通最小二乘法EViews实现41.运用最小二乘法作基本回归； 2.Genr e2=abs(resid), Genr x1=1x, Genr x2=x2, Genr x3=1x2, Genr x4=sqr(x), Genr x5=1sqr(x), ; 3. 分别对e2与 x、x1、 x2、 x3、 x4、 x5运用最小二乘法作 基本回归，并对回