化工传递工程;第七章 热传导

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1、化工传递过程基础 化工传递过程基础化工传递过程基础1化工传递过程基础 第七章 热 传 导热传导(导热)是介质内无宏观运动时的传热现象， 导热在固体、液体和气体中均可发生，但严格而言， 只有在固体中才是单纯的导热，而流体即使处于静止 状态，其中也会由于温度梯度所造成的密度差而产生 自然对流，因此在流体中对流与导热同时发生。鉴于 此，本章将针对固体中的热传导问题进行讨论，重点 研究某些情况下热传导方程的求解方法，并结合实际 情况，探讨一些导热理论在工程实际中的应用。描述导热的基本微分方程已在第六章中导出如 式(6-17a)所示，即2化工传递过程基础 式(6-17a)在不同坐标系的一般形式为直角坐标

2、柱坐标球坐标(7-1)(7-3)(7-2)3化工传递过程基础 求解热传导的规律问题，即解出上述微分方程，获 得温度t与时间 及位置(z，y，z)的函数关系，即不 同时刻温度在空间的分布(温度场)，所得的解为 t=f(x，y，z)，它不但要满足式(7-1)或式(7-2)、式 (7-3)，而且要满足每一问题的初始条件与边界条件。上述热传导方程的求解方法是相当复杂的，除了几 种简单的典型问题可以采用数学分析方法求解外，绝 大部分问题常常需要采用特殊的方法，例如数值计算 等方法进行求解。本章将主要针对以直角坐标系和柱 坐标系表达的某些简单的工程实际导热问题的求解方 法进行研究。4化工传递过程基础 第一

3、节 稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导对于无内热源的一维稳态热传导，由于温度与时间 无关， ，且无内热源， 。又设沿 x或r方向进行一维导热，则热传导方程(7-1)、(7-2) 、(7-3)可简化为一维的拉普拉斯方程，即 直角坐标柱坐标5化工传递过程基础 球坐标工程上一维(沿x或r方向)稳态热传导的例子很多， 如方形燃烧炉的炉壁、蒸汽管的管壁、列管式换热器 的管壁以及球形压力容器的器壁等。(一)单层平壁一维稳态热传导 单层平壁(如方形燃烧炉的炉壁)沿一个方向的导热 问题是最简单的热传导问题，当导热系数k 为常数时 ，式(7-4)即为描述该导热过程的微分方程，即 设边界条件为6化工传递过程基

4、础 将式(7-7)积分两次，可得式中， 为积分常数，代人边界条件(1)，可求出 ；代入边界条件(2),可求出 。将 代入式(7-7)，即可得到此情况下的温度分布方程为由式(7-8)可知,平壁稳态热传导过程的温度分 布为一条直线。该式也可由傅立叶定律导出求出温度分布之后，便可进一步求出沿x方向通过 平壁的导热通量。根据傅立叶定律,通过某x处的导热 通量q/A 可表示为7化工传递过程基础 将式(7-8)对x求导后代入上式，得8化工传递过程基础 (二)单层筒壁的稳态热传导化工生产中，经常遇到筒壁的热传导问题，求解 筒壁的径向热传导问题时，应用柱坐标系比较方便， 若筒壁的长度很长，Lr，则沿轴向的导热

5、可略去不 计，于是可认为温度仅沿径向变化，在此情况下，描 述无内热源的一维稳态热传导方程为式(7-5)，即 设边界条件为9化工传递过程基础 将式(7-5)积分两次，可得式中，C1、C2为积分常数，经向该式代人边界条件(1) 和(2)后，可得将C1、C2代人式(7-11) ，即可得到沿筒壁径向一维稳态 导热时的温度分布方程为(7-12)10化工传递过程基础 上式表明，通过筒壁进行径向一维稳态热传导时，温 度分布是r的对数函数。通过半径为r的筒壁处的传热速率或热通量，可由 柱坐标系的傅立叶定律导出即式中，q和qAr分别为半径r处的导热速率和热通量； Ar为该处的导热面积，Ar=2丌rL，其中L为筒

6、壁的长度； 为该处的温度梯度。 将式(7-12)对r求导并代入式(7-13)和式(7-13a)可得(7-13)11化工传递过程基础 式(7-14)即为单层筒壁的导热速率方程。以上诸式 表明，尽管壁温、筒壁的传热面积和热通最均随半径r 而变，但传热速率在稳态时依然是常量，即式(7-14)亦可写成与平壁导热速率方程相类似的形式，即将式(7-17)与式(7-14)对比，可知(7-15)(7-17)12化工传递过程基础 式中 简壁的对数平均半径；筒壁的对数平均面积。应予指出，当 2时，上述各式中的对数平 均值可用算术平均值代替。通常，筒壁的导热速率采用单位筒长来表示，则 由式(7-14)可得13化工传

7、递过程基础 以上均假定导热系数k为与温度无关的常数。当k为 温度t的线性函数时，上述各式中的导热系数k可采用 、 算术平均温度下的值 来代替。二、有内热源的一维稳态热传导有内热源的导热设备，以柱体最为典型，例如核反 应堆的铀棒、管式固定床反应器和电热棒等。若柱体 很长，且温度分布沿轴向对称，在此情况下的稳态导 热问题，可视为沿径向的一维稳态热传导，此时，柱 坐标下的能量方程式(7-2)可化为14化工传递过程基础 式(7-19)系用来描述具有内热源、沿径向作一维稳态 热传导时的微分方程。若内热源均匀，则 为常数 。结合具体的边界条件可求出柱体内的温度分布，为 此，将式(7-19)进行第一次积分，

8、 得再积分一次，又得式中， 为积分常数，可根据两个边界条件确定 ，具体方法参见例7-1和例7-2。15化工传递过程基础 例7-1 有一半径为R，长度为L的实心圆柱体，其发热 速率为 ，圆柱体的表面温度为 ，LR，温度仅 为径向距离的函数，设热传导是稳态的，圆柱体的导 热系数k为常数，试求圆柱体内的温度分布及最高温度 处的温度值。解：柱体内一维径向稳态热传导时的温度分布方程为依题意，设边界条件为16化工传递过程基础 边界条件(2)表示稳态热传导时，圆柱体内的发热速 率必等于表面热损失速率。由边界条件(2)可得将上式代入式(7-20)中，并取r=R，得故将Cl=0及边界条件(1)代人式(7-21)

9、中，得故 17化工传递过程基础 最后解出温度分布为由于圆柱体向外导热，显然最高温度在圆柱体中心处 ，即上式亦可写成无因次形式，即(上两式相比)18化工传递过程基础 【例7-2】 有一外径为4cm、内径为1.5 cm、载有电 流密度I为5000 A 的内冷钢制导体。导体单位时 间发出的热量等于流体同时带走的热量，导体内壁面 的温度为70。假定外壁面完全绝热。试确定导体内 部的温度分布并求算导体内部最高温度处的温度值。已知钢的热传导系数k=380 w(mK)电阻率解：由式(7-21)出发，求出导体内部的温度分布。为 此首先求出 、 、 各值。根据题意，可知本题的两个边界条件为 19化工传递过程基础

10、 将边界条件(2)代人式(720)中，得由此得 再将边界条件(1)代入式(7-21)中，得解之得20化工传递过程基础 将C1、C2代入式(7-21)中，即可求出导体内部的温度 分布方程为或 最高温度发生在外壁面处，该处r2=2cm =0.02 m，故21化工传递过程基础 三、二维稳态热传导上面讨论的稳态热传导问题，其温度均可以用一个 空间坐标的函数来表示，但工程中还常遇到二维或三维 稳态热传导问题。对于这类问题，仅当边界条件比较简 单时，才有可能应用分析解法，但求解过程相当麻烦， 结果也很复杂，不便于工程应用。而对于边界条件比较 复杂的热传导问题，其分析求解就更加困难，有的甚至 根本不能得到分

11、析解，此时，解决问题最有效的方法是 数值计算法，这种方法有许多优越性，特别是计算机的 迅速发展，使得人们能够对以前认为不能求解的许多问 题得到数值解。下面以无内热源的二维稳态热传导为 例，说明数值计算法的应用。22化工传递过程基础 (一)物体内部的结点温度方程无内热源的二维稳态热传导，在直角坐标系中以二 维的拉普拉斯方程描述，即根据上式求出的温度分布t=f(z，y)为一连续曲面， 数值计算法的基础是将上述连续变化的偏微分方程用 差分方程近似表达，从而求出温度分布。如图7-1所示，将物体分割成若干个由x、y组 成的小方格，分割线的交点称为结点，x及y的长 度视对计算精度的要求选取，x或y越小，所

12、得结 果就越接近于真实温度分布，当然相应的计算量也就 越大。 23化工传递过程基础 24化工传递过程基础 温度梯度可以写为25化工传递过程基础 由此，可将式(7-22)近似地写成差分形式，即令x=y，上式化为 (7-23) 26化工传递过程基础 式(7-23)称为物体内部的结点温度分布方程，它表 达任一结点(i，j)的温度ti,j与邻近四个结点温度之间 的关系，即在无内热源的二维稳态温度场中，其内部 某结点的温度可用邻近四个结点温度的算术平均值表 示。显然，若将所有内部结点的温度分别与其相邻的 四个结点的温度按式(7-23)的形式联系起来，便可建 立物体内部的结点温度方程组。(二)物体边界上的

13、结点温度方程处于物体表面的结点，由于外界的影响，其温度 就不能应用式(7-23)来表达，而要根据具体情况来 建立。27化工传递过程基础 简单的边界情况如图7-2(a)(d)所示，图7-2(a) 为绝热边界，其余三种为对流边界，下面分别建立此 四种边界情况下的结点温度方程，为简便计，推导时 ，均取垂直纸面的距离为单位长度。1绝热边界28化工传递过程基础 29化工传递过程基础 如图7-2(a)所示，对虚线包围的微元体作热量衡算,得令x=y，则上式化为2对流边界 如图7-2(b)所示，设周围流体主体温度为tb且维持 不变，微元体表面与流体之间的对流传热系数为h， 亦维持不变，对虚线包围的微元体作热量

14、衡算，可 得30化工传递过程基础 令x=y，则上式化为同理可求得图7-2(c)中对流边界上的外角结点(i,j) 的结点温度方程为及图 7-2(d)中对流边界上的内角结点(i,j)的结点 温度方程为31化工传递过程基础 (三)二维稳态温度场的结点温度方程组 式(7-23)、(7-24)表达了无内热源二维稳态温度场 中结点温度之间的关系，各式均为线性代数方程。求 解温度场时，可根据物体内部及边界情况，并考虑精 度要求，将物体分割成若干个等边的小方格，将分割 线的交点统一编号，i=l，2，3，n，然后根据每 个结点所在的位置，分别写出相应的结点温度方程， 从而得到整个温度场的结点温度方程组，即32化

15、工传递过程基础 式中， 和 (i,j=1，2，n)均为常数； (i=1，2，n)为未知温度，式(7-25)为线性方 程组，共有n个方程,未知温度亦为n个，求解此方程 组即可得出 的数值，于是整个温度场即 可解出。【例7-3】如附图所示，某一边长为1m的正方形物 体，左侧面恒温为100，顶面恒温为500，其余 两侧面暴露在对流环境中，环境温度为100。已知 物体导热系数为l0(m)，物体与环境的对流传热 系数为10 W/( )，试建立19各结点的温度方 程组并求出各点的温度值。 求解上述结点温度方程组可采用求逆矩阵法,迭代法和高斯消去法等。 33化工传递过程基础 (1)建立结点温度方程组 由于内

16、部和边界上的结点温 度方程不同，今以内部结点1及边界上的结点3、9为代 表建立各结点温度方程。对于结点l，应用式(7-24a)，得结点3为一般对流边界上的点，应用式(7-24b)得34化工传递过程基础 35化工传递过程基础 代人数据，得结点9为对流边界外角上的点，应用式(7-24c)得代人数据，得其余各结点的温度方程可用相应的方程建立，最后 得l9各点的结点温度方程组为36化工传递过程基础 37化工传递过程基础 (2)各点的温度数值的计算结果采用求逆矩阵法求解上述方程组，可得() 38化工传递过程基础 第二节 不稳态热传导物体内任一点的温度均随时间而变的导热称为不稳 态导热。在工程实际中，经常遇到不稳态导热问题，