利率衍生产品

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1、Ch06 利率衍生产品 利率期权概要 基本概念 影响期权价值的因素 期权定价模型Blacks models 二项式模型 顶、底、互换选择权的定价 利率模型 可转换债券基本概念 定义 嵌入期权的金融工具 期权的盈亏定义 期权：选择权，可以这样做也可以那样做的权利。 买入期权（Call Option），期权购买者可以按照事先约 定的价格购买一定数量证券的权利。 卖出期权（Put Option ），期权购买者可以按照事先约 定的价格卖出一定数量证券的权利。 美式期权（American option）， 在到期前的任何时刻 都可以执行的期权。 欧式期权（European option ），只有在到期时

2、才能执 行的期权。定义 In-the-money Out-of-the money At-the-money Strike price：exercise price嵌入期权的金融工具可回购债券（callable bonds） 可回卖债券（puttable bonds） 可提前偿还的住房贷款（prepayable mortgages） 顶（caps）, 箍（collars）, 底（ floors） 期货期权（options on futures） (e.g., Eurodollars and Treasury notes) 互换期权（swaptions）期权的盈亏 profit profit L

3、ong a call Short a call期权的盈亏 profit profit Long a put Short a put影响期权价值的因素期权定价模型 Blacks models BlackScholes例 Black-Scholes 模型的问题 给欧式 call option 定价：3年零息债券，施权价 格$110, 面值 $100 结论很明显，应该是0. 但在下面假设情况下， r = 10% ， 4% 的年价格 波动率，用Black-Scholes 模型计算出来的价格为 7.78!应用传统 Black-Scholes Model 给债券定价的问题价格波动率：股票与债券 股票 债券

4、 时间Blacks Model 尽管存在着以上问题，Black-Scholes 的变形 ，叫做Blacks Model, 也还经常被使用，条 件是: a.期权的盈亏在某一特点时间只依赖于一个变量。 b.可以假定在那个时点上，那个变量的分布呈对数 正态分布。 例如，当期权有效的时间远远短于债券偿还期 时，就可以利用Blacks Model 利用Blacks Model给欧式期权定价利用Blacks Model给欧式期权定价 T = 期权到期日 F = 到期日为T，价值为V的远期价格 K = 执行价格 r = T期的即期收益率 (连续利率) = F的波动率 N = 累积正态分布 Pc = valu

5、e of call Pp = value of put例 : 应用 Blacks Model 给10个月期的欧式期权定价：标的债券为9.75 的，面值 $1,000, 半年利息 $50 (在3个月后和 9个月后得到)? 已知 今天债券价格 $960 (包括应计利息) 执行价格 $1,000 3个月的无风险利率为 9% ，9个月的无风险利率为 9.5%，10个月的无风险利率为10% (以年为基础， 连续利率) 债券价格的波动率为年9%例 : 应用 Blacks Model求解 第一步: 找到远期价格 计算期权价格的参数为:F = 939.68, X=1000, r=0.1, =0.09, T =

6、 10/12=.8333.例 : 应用 Blacks Model二项式模型 可回购债券的价值 =不可回购债券价值 -Call Option 的价值 可回卖债券的价值 =不可回卖债券价值 + Put Option的价值 回购债券定价策略:利用利率模型给不可回购债券定价 利用利率模型给嵌入的call option定价.二项式模型 利用已知的二项式模型定价 附息债券 基于附息债券的欧式期权 基于附息债券的美式期权例 有如下的二项式树图，该树图可以用来给无风 险债券以及债券期权定价（利率上升下降的概 率都是50%。r0=3.5%ru=4.976%rd=4.074%ruu=6.757%rud=5.532

7、%rdd=4.530%例 Price option-free bonds . 例如 票面利率5.25%（年支付），期限3年的债券V=102.075 C=0 r0=3.5%V=99.461 C=5.25 rU=4.976%V=101.333 C=5.25 rd=4.074%V=98.588 C=5.25 ruu=6.757%V=99.732 C=5.25 rud=5.532%V=100.689 C=5.25 rdd=4.53%V=100 C=5.25V=100 C=5.25V=100 C=5.25V=100 C=5.25例 Pricing a European Call Option: 假定票面

8、利率 5.25%的债券是可回购的，回购日为2年末，回购价格 为 $99.50. Vcall=0.383, Vbond=101.692Vcall=0.383 r0=3.5%Vcall=0.11 ru=4.976%Vcall=0.683 rd=4.074%Vcall=0 ruu=6.757%Vcall=0.232 rud=5.532%Vcall=1.189 rdd=4.53%例 Pricing a American Call Option: 在1年后和2年后都 可以回购，价格都是 $99.50. Vcall=0.938, Vbond=101.137Vcall=0.938 r0=3.5%Vcall=

9、max(0.11, 0) ru=4.976%Vcall=max(0.683, 1.833) rd=4.074%Vcall=0 ruu=6.757%Vcall=0.232 rud=5.532%Vcall=1.189 rdd=4.53%顶、底、互换选择权的定价 顶与底 互换选择权顶与底 利率的顶是一个选择权，它限制住了浮动利率负 债所支付的最高利率水平。 利率的底是一个选择权，它限制住了浮动利率负 债所支付的最低利率水平。顶和底可以： 脱离贷款本身，可以通过单独交易来获得。 与证券相连，其价格体现在了证券的利率当中。顶与底 一个顶可以被理解为关于浮动利率R的一串call options。 一个底可

10、以被理解为关于浮动利率R的一串put options。 顶和底被分离出来的部分被称为 “caplets”, “floorlets” 顶的盈亏 = 本金 期限 maxRt - Rk, 0 Rt = t 期的利率 Rk = cap rate 注意是你购买了顶，给你带来的利益，而不是实际支 付的利率！例 : 给Cap定价 Cap rate 5.2%, 名义数量:$10,000,000, 支付频 率:年 利率变化r0=3.5%ru=5.4289%rd=4.4448%ruu=7.0053%rud=5.7354%rdd=4.6958%ruuu=9.1987%ruud=7.5312%rudd=6.1660%

11、rddd=5.0483%例 : Value of the year 1 caplet 22,890=10,000,000(5.4289%-5.2%) 11,058=0.5(22,890+0)/1.03511,058 r0=3.5%22,890 ru=5.4289%0 rd=4.4448%例 : Value of the year 2 caplet66,009 r0=3.5%111,008 ru=5.4289%0 rdd=4.6958%53,540 rud=5.7354%180,530 ruu=7.0053%25,631 rd=4.4448%例 : Value of the year 3 cap

12、let150,214 r0=3.5%214,217 ru=5.4289%96,726 rd=4.4448%295,775 ruu=7.0053%155,918 rud=5.7354%46,134 rdd=4.6958%399,870 ruuu=9.1987%233,120 ruud=7.5312%96,600 rudd=6.1660%0 rddd=5.0483%例 :Value of Cap Value of cap = value of caplet 1+ value of caplet 2 + value of caplet =11,058+66,009+150,214 =227,281例

13、 : 给 Floor定价 Floor rate 4.8%, 名义金额:$10,000,000, 支付频 率:年 利率变化如下r0=3.5%ru=5.4289%rd=4.4448%ruu=7.0053%rud=5.7354%rdd=4.6958%ruuu=9.1987%ruud=7.5312%rudd=6.1660%rddd=5.0483%例 : Value of the year 1 floorlet 35,520=10,000,000(4.8%-4.4448%) 17,159=0.5(35,520+0)/1.03517,159 r0=3.5%0 ru=5.4289%35,520 rd=4.4

14、448%例 : Value of the year 2 floorlet2,410 r0=3.5%0 ru=5.4289%10,420 rdd=4.6958%0 rud=5.7354%0 ruu=7.0053%4,988 rd=4.4448%例 : Value of the year 3 floorlet0 r0=3.5%0 ru=5.4289%0 rd=4.4448%0 ruu=7.0053%0 rud=5.7354%0 rdd=4.6958%0 ruuu=9.1987%0 ruud=7.5312%0 rudd=6.1660%0 rddd=5.0483%例 :Value of Floor V

15、alue of floor = value of floorlet 1+ value of floorlet 2 + value of floorlet =17,159+2,410+0 =19,569互换选择权（Swaptions） 例 ：有下面互换：名义本金 $1000 ，期限3年。 固定利率支付方每年支付 10.1% , 他拥有选择权 ，使他随时可以终结互换。我们的目的是要确定 这一互换选择权的价值。 假定在 0时点利率为10%。利率上升与下降的概 率各为50%。利率路径如下：例 : Swaptionsr0=10%ru=11%rd=9%ruu=12%rud=10%rdd=8%例: Swaptions 如果理解为