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1、矩阵形式：存在惯性耦合存在弹性耦合多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出 现惯性耦合，也不出现弹性耦合？即：若能够，则有：方程解耦，变成了两个单自由度问题使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的 运动微分方程之间有着怎样的联系？ABCDa1a2el1l2lk1k2选取D点的垂直位移及 角位移作为坐标选取质心C点的垂直位 移及角位移作为坐标多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程令：令：多自由度系统振动 / 多自由度系统
2、的动力学方程D点和C点的坐标之间的关系：写成矩阵形式：坐标变换矩阵eDCDCCD和 的关系在C点加一对大小相等、方向相反的力得：写成矩阵形式：T 非奇异，因此：多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程得：验证：将代入D点的方程，并左乘 ：多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程结论：结论：假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X X 和和Y Y 有如下的变有如下的变 换关系：换关系：其中其中T T 是非奇异矩阵，如果在坐标是非奇异矩阵，如果在坐标X X下系统的运动微分方程为：下系统的运动微分方程为：那么在坐标那么在坐标Y Y 下的运动微分方程为
3、：下的运动微分方程为：如果恰巧Y 是主坐标：对角阵这样的T 是否存在？如何寻找？多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 固有频率固有频率 模态模态 模态的正交性模态的正交性 主质量和主刚度主质量和主刚度 模态叠加法模态叠加法 模态截断法模态截断法多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 多自由度系统的固有频率作用力方程：固有振动方程：在考虑系统的固有振动时，首先考察系统的同步振动，即系 统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律 都相同的运动。 假设系统的运动为： 运动规律的时间函数 常数列向量 多自由度系统振动 / 多自由度
4、系统的自由振动代入，并左乘 ：常数M 正定，K 正定或半正定 对于非零列向量 ： 令：对于半正定系统，有 对于正定系统必有 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动a、b、 为常数正定系统 （1）正定系统 只可能出现形如 的同步运动系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动（2）半正定系统 半正定系统可能出现形如 的同步运动也可能出现形如 的同步运动（不发生弹性变形 ）主振动首先讨论正定系统的主振动 M 正定，K 正定主振动：正定系统：将常数a并入 中代入振动方程： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动有非零解的充分必要条件为系数
5、行列式等于零 特征方程 解出 n 个值，按升序排列为： ：第 i 阶固有频率频率方程 或特征多项式仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数 ：基频多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动采用位移方程求解固有频率 位移方程：柔度矩阵自由振动的位移方程：主振动： 代入，得： 特征值？解释：多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动采用位移方程求解固有频率 位移方程：柔度矩阵自由振动的位移方程：主振动： 代入，得： 特征值特征方程： 特征根按降序排列： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动例：三自由度系统 m2kmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 多自由
6、度系统的模态（主振型）正定系统：主振动：特征值问题：特征值特征向量n 自由度系统：（固有频率）（模态）一一对应代入，有：多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动当 不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有 一个是不独立的 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个 元素（例如 ）的项全部移到等号右端 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动为使计算简单，令：则有：多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动当 不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有一
7、个不独立 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元 素（例如 ）的项全部移到等号右端 例：三自由度系统2k mmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动以 为例进行说明将 代入，有：由第三个方程，得：代入第二个方程： 与第一个方程相同方程组中有一式不独立例如，将第三个方程去掉因此若令 可解出多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动整理令：解得：的值值也可以取任意非零常数将解得特征向量在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的 过程称为归一化 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动正定系统：主振动：将 ， 代入主振动动方程并将改为为第 i
8、阶主振动 ：系统统在各个坐标标上都将以第i阶阶固有频频率 做简谐振动， 并且同时通过静平衡位置 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动第 i 阶主振动 ：比值：第i阶特征向量 中的一列元素，就是系统做第i阶主振动时各 个坐标上位移（或振幅）的相对比值 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振 动形态已确定 描述了系统做第i阶主振动时具有的振动形态，称为第i阶主 振型，或第i阶模态主振动仅取决于系统的M阵，K阵等物理参数。这一重要概念 是单自由度系统所没有的 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动正定系统：第 i 阶主振动 ：系统的自由有振动：n个主振动的叠加 模态叠加
9、法由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的自由有 振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动 初始条件决定多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动正定系统：特征值问题：特征矩阵记为 B或当 不是重特征根时时，可以通过过B的伴随矩阵阵 求得 相应的主振型根据逆矩阵定义 ：两边边左乘 ：当 时 ：或的任一非零列都是第i阶阶主振 动动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动例：求固有频率和主振型解：动力学方程：令主振动： 或直接用 得： m2m2kkkx1x2多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动令 特征方程： 为求主振型，先将 代入 ：一个独立 令则第一阶主振型：令则将 代入第二阶
10、主振型：多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动第一阶主振型：第二阶主振型：画图：以横坐标表示静平衡位 置，纵坐标表示主振型中各元 素的值 第一阶主振动，两个质量在静平 衡位置的同侧，做着同向运动。 而做第二阶主振动时，两质量在 平衡位置的异侧，做着异向运动 有一点始终不振动，称为节点 1121多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动无节点 一个节点 m2m2kkkx1x2例：求固有频率和主振型解：动力学方程：令主振动： 或直接用 得： 2k mmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动令 令特征矩阵的行列式0特征方程：本题题中 都是单根 可用特征矩阵的伴随矩
11、阵求阵型 特征矩阵多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动选选上式右端矩阵阵的第一列，分别别代入 的值值得：第二阶模态有1个节点，第三阶模态有2个节点，这由主振型内 元素符号变号的次数可以判断出多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动模态图形：1121-11-11第一阶模态：第二阶模态：第三阶模态：2k mmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动无节点一个节点两个节点单自由度系统多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动两自由度系统第一阶模态第二阶模态一个节点无节点节点位置多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动第一阶模态第二阶模态第三阶模态三自由度系
12、统节点位置 无节点一个节点两个节点多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动第一阶模态第二阶模态第三阶模态第四阶模态四自由度系统一个节点两个节点三个节点节点位置无节点多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 模态的正交性，主质量和主刚度设设 、 对应对应 的模态态分别为别为 、 两式相减：转置右乘左乘若 时， 模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性均满足：多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动当 ij 时，表达式恒成立令：第 i 阶模态主质量第 i 阶模态主刚度第 i 阶主模态模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性当 ij 时主质量主刚度当 时利用 Kronecker （克罗内
13、克 ）符号，可综合写为： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动第 i 阶固有频率：主模态：第 i 阶模态主质量第 i 阶模态主刚度第 i 阶主模态多自由度系统：另一种模态：正则模态定义：使全部主质量皆为1的主模态 令：正则模态和主模态之间的关系：多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动相对于 的主刚度：正则模态的正交性条件：主模态的正交性条件：第 i 阶模态主质量第 i 阶模态主刚度第 i 阶主模态主模态：主质量为1主刚度为固有频 率的平方第 i 阶正则模态正则模态：多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统：主模态将 组成矩阵 模态矩阵主质量矩阵主刚度矩阵正交性条件
14、：多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动推导：多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统：正则模态将 组成矩阵正则模态矩阵单位矩阵谱矩阵正交性条件：多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统：特征值问题：依次取 ，得到的 n 个方程，可合写为：主模态正交性条件：左乘 ：多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动例：三自由度系统模态矩阵：主质量矩阵：主刚度矩阵：非对角线顶等于零说明主振型是关于刚度阵及质量阵相互正交的 谱矩阵：2k mmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动模态矩阵：主质量矩阵：主刚度矩阵：谱矩阵：正则模态和主模态之
15、间的关系：正则模态矩阵：不难验证，有： 2k mmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动 模态叠加法模态相互正交 表明它们是线性独立的，可用于构成 n 维空间的基 系统的任意n维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合 即系统的振动为n阶主振动的叠加模态叠加法 物理坐标主模态坐标模态矩阵坐标关系：多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动另一种模态坐标：正则模态坐标物理坐标正则模态坐标系统响应：正则模态矩阵多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动小结：多自由度系统：可采用两类模态坐标进行描述主模态坐标正则模态坐标多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动求解无阻尼系统对
