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1、第三章 MATLAB有限元分析与应用3-1 弹簧元3-2 线性杆元3-3 二次杆元3-4 平面桁架元3-5 空间桁架元3-6 梁元Date13-1 弹簧元 1、有限元方法的步骤：离散化域形成单刚矩阵集成整体刚度矩阵引入边界条件求解方程后处理Date22、基本方程3-1 弹簧元 弹簧元是总体和局部坐标一致的一维有限单元每个弹簧元有两个节点（node）单刚矩阵为：总刚矩阵：结构方程：单元节点力：Date33、MATLAB函数编写3-1 弹簧元 %SpringElementStiffness This function returns the element stiffness %matrix fo
2、r a spring with stiffness k. %The size of the element stiffness matrix is 2 x 2.3.1 单元刚度矩阵的形成y = k -k ; -k k;function y = SpringElementStiffness(k)Date43、MATLAB函数编写3-1 弹簧元 %SpringAssemble This function assembles the element stiffness % matrix k of the spring with nodes i and j into the % global stif
3、fness matrix K. % This function returns the global stiffness matrix K % after the element stiffness matrix k is assembled.3.2 整体刚度矩阵的形成K(i,i) = K(i,i) + k(1,1); K(i,j) = K(i,j) + k(1,2); K(j,i) = K(j,i) + k(2,1); K(j,j) = K(j,j) + k(2,2); y = K;function y = SpringAssemble(K,k,i,j)Date53、MATLAB函数编写3-
4、1 弹簧元 %SpringElementForces This function returns the element nodal force % vector given the element stiffness matrix k % and the element nodal displacement vector u.3.3 节点载荷计算y = k * u;function y = SpringElementForces(k,u)Date64、实例计算分析应用3-1 弹簧元 如图所示二弹簧元结构，假定k1=100kN/m，k2=200kN/m，P=15kN。 求：系统的整体刚度矩阵；
5、节点2、3的位移；节点1的支反力；每个弹簧的内力解：步骤1：离散化域Date74、实例计算分析应用3-1 弹簧元 步骤2：形成单元刚度矩阵k1=SpringElementStiffness(100);k1 =100 -100-100 100 k2=SpringElementStiffness(200)；k2 =200 -200-200 200调用 function y = SpringElementStiffness(k)函数Date84、实例计算分析应用3-1 弹簧元 步骤3：集成整体刚度矩阵调用 function y = SpringAssemble(K,k,i,j)函数n=3; K =
6、zeros(n,n);K = SpringAssemble(K,k1,1,2)K =0 0 00 0 00 0 0K = SpringAssemble(K,k2,2,3)K =100 -100 0-100 100 00 0 0K =100 -100 0-100 300 -2000 -200 200Date94、实例计算分析应用3-1 弹簧元 步骤4：引入边界条件已知边界条件：Date105、实例计算分析应用3-1 弹簧元 步骤5：解方程U=zeros(2,1);F=0;15;K = K(2:3,2:3);U=KFU=inv(K)*FK(1,:)=; K(:,1)=;U =0.15000.225
7、0Date115、实例计算分析应用2-1 弹簧元 步骤6：后处理U=0;UU =00.15000.2250F=K*UF =-15.00000.000015.0000u1=U(1:2); f1=SpringElementForces(k1,u1);f1 =-15.000015.0000u2=U(2:3); f2=SpringElementForces(k2,u2);f2 =-15.000015.0000Date125、实例计算分析应用3-1 弹簧元 k1=SpringElementStiffness(100); k2=SpringElementStiffness(200); n=3; K=zer
8、os(n,n); K=SpringAssemble(K,k1,1,2); K=SpringAssemble(K,k2,2,3); U=zeros(2,1); F=0;15; K = K(2:3,2:3); KK=K; U=KF U=0;U; F=K*U; u1=U(1:2); f1=SpringElementForces(k1,u1) u2=U(2:3); f2=SpringElementForces(k2,u2)Date131、基本方程3-2 线性杆元 线性杆元也是总体和局部坐标一致的一维有限单元，用线性函数描述每个线性杆元有两个节点（node）单刚矩阵为：总刚矩阵：结构方程：单元节点力：D
9、ate142、MATLAB函数编写%LinearBarElementStiffness This function returns the element % stiffness matrix for a linear bar with % modulus of elasticity E, cross-sectional % area A, and length L. The size of the % element stiffness matrix is 2 x 2.2.1 单元刚度矩阵的形成y = E*A/L -E*A/L ; -E*A/L E*A/L;function y = Line
10、arBarElementStiffness(E,A,L)3-2 线性杆元 Date152、MATLAB函数编写%LinearBarAssemble This function assembles the element stiffness % matrix k of the linear bar with nodes i and j % into the global stiffness matrix K. % This function returns the global stiffness % matrix K after the element stiffness matrix % k
11、 is assembled.2.2 整体刚度矩阵的形成K(i,i) = K(i,i) + k(1,1); K(i,j) = K(i,j) + k(1,2); K(j,i) = K(j,i) + k(2,1); K(j,j) = K(j,j) + k(2,2); y = K;function y =LinearBarAssemble(K,k,i,j)3-2 线性杆元 Date162、MATLAB函数编写%LinearBarElementForces This function returns the element nodal % force vector given the element s
12、tiffness % matrix k and the element nodal % displacement vector u.2.3 节点载荷计算y = k * u;function y = LinearBarElementForces(k,u)3-2 线性杆元 Date172、MATLAB函数编写%LinearBarElementStresses This function returns the element nodal % stress vector given the element stiffness % matrix k, the element nodal displac
13、ement % vector u, and the cross-sectional area A.2.4 节点应力计算y = k * u/A;function y = LinearBarElementStresses(k, u, A)3-2 线性杆元 Date183、实例计算分析应用如图所示二线性杆元结构，假定E=210MPa，A=0.003m2，P=10kN，节点3的右位移为0.002m。 求：系统的整体刚度矩阵；节点2的位移；节点1、3的支反力；每个杆件的应力解：步骤1：离散化域3-2 线性杆元 Date193、实例计算分析应用步骤2：形成单元刚度矩阵k1=LinearBarElementStiffness(E,A,L1)k2=LinearBarElementStiffness(E,A,L2)调用 function y = LinearBarElementStiffness(E,A,L)函数3-2
