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1、静电场中的电介质 习题、例题分析+5.2 两个同心的薄金属球壳，内、外球壳的半径分别 为R1=0.02m和R2=0.06m. 球壳间充满两层均匀电介 质，它们的相对介电常数分别为r1=6和r2=3. 两 层电介质的分界面半径为R=0.04m.设内球壳带电量 为Q=610-8C，求： (1) D和E的分布，并画Dr，E-r曲线； (2) 两球壳之间的电势差； (3) 贴近内金属壳的电介质表面上的面束缚电荷密度.R1R2R21解:(1) 由D的高斯定理及DE关系： 易得2R1R2R213E,Dr0RR2R1-1-2-3-4-5R1R2R21D-r， E-r曲线如下图所示4R1R2R21(2) 两球
2、壳之间的电势差为代入有关数据求得5(3) 由 及 可得贴近内金 属壳的电介质表面上的面束缚电荷密度为65.4 一平板电容器板间充满相对介电常数为r的电介 质而带有电量Q . 试证明：与金属板相靠的电介质表 面所带的面束缚电荷的电量为证明：因为无电介质存在时，电容器极板间的电场 强度为因此极板间充满了相对介电常数为r的电介质后 ，电容器极板间的电场强度变为电介质中的极化强度为7图中与上金属板相靠的电介质表面所带的面束缚电 荷密度为故与上金属板相靠的电介质表面所带的面束缚电荷 的电量为同法可求得与下金属板相靠的电介质表面所带的面束 缚电荷的电量为P85.19 一平行板电容器面积为S，板间距离为d，
3、板间以 两层厚度相同而相对介电常数分别为r1和r2的电介 质充满.求此电容器的电容. 解：方法一：利用电容器串联公式 原电容器可看成是由两个电容器C1与 C2串联而成，如右图所示.C1C2因此原电容器的电容为9解：方法二：利用电容的定义公式设电容器带电量为Q，如图所示.则相对介电常数为r1的电介质中的 电场强度为相对介电常数为r2的电介质中的电场强度为那么，原电容器两极板间的电势差为10因此，电容器的电容为115.23 将一个100pF的电容器充电到100V，然后把它和 电源断开，再把它和另一电容器并联，最后电压为 30V.第二个电容器的电容多大？并联时损失了多少电 能？这电能哪里去了？解:
4、由于第一个电容器充电后与电源断开，所以其上 的电量保持不变,设为Q0.当它与第二个电容器并联时，这电量将在这两个 电容器中重新分布，但总量不变.于是有所以有12并联时损失的电能为代入有关数据，可求得这电能消耗在连接导线的焦耳热上135.3 两共轴的导体圆筒的内、外筒半径分别为R1和R2， R22R1. 其间有两层均匀电介质，分界面半径为r0. 内 层介质相对介电常量为r1，外层介质的相对介电常量 为r2，且r2=r1/2.两层介质的击穿场强都是Emax. 当电压升高时，哪层介质先击穿？两筒间能加的最大 电势差多大？ R1R2r0r1r2 解：设内圆筒带电，其面电荷密度为 .则利用D的高斯定理易
5、得内、外圆筒间 的电位移为场强为：内层介质中外层介质中14场强为：内层介质中外层介质中R1R2r0r1r2显然，内层介质中最大场强出现在r=R1处外层介质中最大场强出现在r=r0处因为 ，故 由于当电压升高时，外层介质场强总大于内层介质 场强，故外层介质中的r0处先达到击穿场强而被击穿.15场强为：内层介质中外层介质中R1R2r0r1r2内外筒间的电压为不致电介质被击穿的最大电压为5.14 一个平行板电容器的每个板的面积为0.02m2,两板 相距0.5mm，放在一个金属盒子中(如图所示). 电容器 两板到盒子上下底面的距离各为0.25mm，忽略边缘效 应，求此电容器的电容. 如果将一个板和盒子
6、用导线连 接起来，电容器的电容又是多大？0.50mm0.25mm0.25mm解：分别以A、B、H表示平行板 电容器的两个极板和金属盒子.ABH那么，平行板电容器与金属盒 子所组成的电容器系统的电路如 图1所示.AAH H BB图1这一系统的等效电容为17ABH0.50mm0.25mm0.25mmAAH H BB图1其中 S=0.02m2,d1=0.50mm=510-4m其中 S=0.02m2,d2=0.25mm=2.510-4m由(1)、(2)、(3)式，并代入有关数据可求得18ABH0.50mm0.25mm0.25mm 图2当平行板电容器的一个极板(如 B板)与盒子用导线相连接的情况, 如图
7、2所示.图3AAH H BBAAHB此系统的电路如图3所示. 这一系统的等效电容为代入有关数据可求得19dahr图15.20 一种利用电容器测量油箱中油量的装置示意图如图 1所示. 附接电子线路能测出等效相对介电常量r,eff(即 电容相当而充满板间的电介质的相对介电常量). 设电 容器两板的高度都是a，试导出等效相对介电常量和油 面高度的关系，以r表示油的相对介电常量.就汽油 (r=1.95)和甲醇(r=33)相比，哪种燃料更适宜用此 油量计？ 解：设图1中两板的距离为d，板的宽度 为b.该装置相当于两个电容器并联，其中 一个电容器极板间充满油料. 等效电容为其中20dahr图1 由此可得等
8、效相对介电常量为由此式知，当r较大，则液面高度有同样的变化 时，r，eff较大.因为甲醇的相对介电常量(r=33) 比汽油的相对介电常量(r=1.95)大，故甲醇更适宜 用此油量计.所以等效电容为215.21 一球形电容器的两球间下半部充满了相对介电常量 为r的油，它的电容较未充油前变化了多少？R1R2解：设球形电容器的两球的半径分别是 R1和R2.未充油前，球形电容器的电容为充油后，球形电容器相当两个半球形电容器并联而 成，故其电容为由以上两式可求得它的电容较未充油前变化了225.18 将一个12F的电容器和两个2 F的电容器连接起 来组成电容为3F的电容器组.如果每个电容器的击穿 电压都是
9、200V，则此电容器组能承受的最大电压是多 大？ 解：将一个12F的电容器和两个2 F的电容器连接起 来组成电容为3 F的电容器组，则只有如图1所示的连 接才行.图112F2F2F其等效电路如图2所示.图212F4FC1C2其中C1、C2的击穿电压都是200V.设电容器带有电量为Q，则有由此可得23图112F2F2F图212F4FC1C2设此电容器组所承受的电压为U，则有由以上两式求得因为故这表明此电容器组能承受的最大电压是Umax=267V245.22将一个电容为4F的电容器和一个电容为6F的电 容器串联起来接到200V的电源上，充电后将电源断开 并将两电容器分离. 在下列两种情况下，每个电容器的 电压各变为多少？ (1) 将每一个电容器的正板与另一个电容器的负板相 连; (2) 将两电容器的正板与正板相连，负板与负板相连.解:充电后，每个电容器所带电量都为Q0：(1)将每一个电容器的正板与另一个电容器 的负板“反向”相连,如图1所示.那么两电容器上的等量正负电荷将中和,每个电容 器的电压都变为0.图16F4FC1C2-+25(2) 将两电容器的正板与正板相连，负板与负板“同向” 相连，如图2所示.图26F4FC1C2-+-这相当于两个电容器并联. 总电容为 C10 F所以每个电容器的电压都是总带电量为 Q2Q0= 960 C2627
