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1、一、一、线性空间中向量之间的线性关系线性空间中向量之间的线性关系 二二、线性空间的维数、基与坐标、线性空间的维数、基与坐标 6.3 6.3 维数维数 基与坐标基与坐标引引 入入即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？问题如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？（基的问题）问题线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？（坐标问题） 一、一、线性空间中向量之间的线性关线性空间中向量之间的线性关 系系 1 1、有关定义、有关定义 设V 是数域 P 上的一个线性空间（1）和式 的一个线性组合称为向量组（2） ，若存在 则称向量 可经向
2、量组 线性表出；使若向量组 中每一向量皆可经向量组 线性表出，则称向量组可经向量组 线性表出； 若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价的 （3），若存在不全为零的数 ，使得 则称向量组 为线性相关的；（4）如果向量组 不是线性相关的，即只有在 时才成立， 则称 为线性无关的 （1）单个向量 线性相关 单个向量 线性无关 向量组 线性相关 中有一个向量可经其余向量线性表出2 2、有关结论、有关结论（2）若向量组 线性无关，且可被向量组 线性表出，则 若 与 为两线性无关的等价向量组，则 （3）若向量组 线性无关，但向量组 线性相关，则 可被向量组 线性表出，且表法是唯一的二、线性空间
3、的维数、基与坐标二、线性空间的维数、基与坐标vv1 1、维数、维数定义如果在线性空间中有 n个线性无关的向量,没有更多数目的线性无关的向量,那么V称为n维的,若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量,那么就称为无限维的.因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的向量例1 所有实系数多项式所成的线性空间 Rx 是无限维的. 1，x，x2，xn1下面主要讨论有限维线性空间 .在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量 2 . 2 . 基基 坐标坐标，称为 V 的一组基；下的坐标，记为 设 为线性空间 V 的一组基， 则数组 ，就称为 在基 若有时也形式地记作 注意：注意：向量
4、的坐标 是被向量 和基 唯一确定的即向量 在基 下的坐标唯一的. 但是，在不同基下 的坐标一般是不同的 4 4、线性空间的基与维数的确定、线性空间的基与维数的确定定理定理：若线性空间V中的向量组 满足 ） 线性无关； ） 可经 线性表出 ,则V为n 维线性空间， 为V的一组基 证明： 线性无关， V的维数至少为 n 任取V中 n1个向量 ，由)，向量组 可用向量组 若 是线性无关的，则n1n，矛盾 线性表出. V中任意n1个向量 是线性相关的 故，V是n 维的， 就是V的一组基 例2 3 维几何空间R3 是R3的一组基； 也是R3的一组基一般地，向量空间为n维的， 就是 Pn 的一组基称为Pn
5、的标准基. n 维线性空间 V 的基不是唯一的，V中任意 n个 任意两组基向量是等价的 例3（1）证明：线性空间Pxn是n 维的，且注意：注意：线性无关的向量都是V的一组基 （2）证明：1，xa，(xa)2，(xa)n11，x，x2，xn1 为 Pxn 的一组基 也为Pxn的一组基证:（1）首先，1，x，x2，xn1是线性无关的 1，x，x2，xn1 为Pxn的一组基，从而，Pxn是n维的.其次， 可经 1，x，x2，xn1线性表出 注：注：在基1，x，x2，xn1下的坐标就是此时，（2）1，xa，(xa)2，(xa)n1是线性无关的 又对 ，按泰勒展开公式有 即,f(x)可经1，xa，(xa
6、)2，(xa)n1线性表出.1，xa，(xa)2，(xa)n1为Pxn的一组基 在基1，xa，(xa)2，(xa)n1下的坐标是 注：注：此时，若把C看成是实数域R上的线性空间呢？ 而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i 就为例4 求全体复数的集合C看成复数域C上的线性空间的维数与一组基；解：复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的一组基；它的一组基注注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，数1就是它的一组基.例5.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里 解: 下证 线性无关. 设得齐次线性方程组其系数行列式方程组只有零解：故 线性无关. 又由知，任意均可表成 的线性组合，所以V为三维线性空间， 就是V的一组基.
