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1、5.4 坡印亭定理和坡印亭矢量 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律坡印亭定理； 坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。5.4.1 坡印亭定理（Poynting Theorem）在时变场中，电、磁能量相互依存，总能量密度为体积V内储存的能量设体积元 dV 中储存的能量 wdV 随时间的变化率为取体积分，得物理意义：体积V内电源提供的功率，减去电阻消耗的热功率，减去电磁能量的增加率，等于穿出闭合面S的电磁功率。 特殊情况若体积内含有电源则坡印亭定理它描述了空间一点电磁能量传输或流动特性。表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率 流密度，S 的方向代
2、表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。定义坡印亭矢量（Poynting Vector）W/m25.4.2 坡印亭矢量 以导体表面为闭合面，则导体吸收的功率为表明，导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。例 5.4.1 导线半径为a ，长为 l ，电导率为 ，试用坡印亭矢量计算导线损耗的能量。电源提供的能量一部分用于导线损耗另一部分传递给负载导体内解：思路：电场强度磁场强度图5.4.3 导体有电阻时同轴电缆中的E、H 与SI URI图5.4.2 计算导线损耗的量IUI UR图5.4.1 同轴电缆中的电磁能流 I例 5.4.2 用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体
3、，内外半径分别为R1 和R2 。解： 理想导体内部电磁场为零。电磁场分布如图所示。电场强度 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。这表明：单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为磁场强度坡印亭矢量5.5.1 电磁场基本方程的相量形式5.5 正弦电磁场正弦电磁场的相量形式与正弦稳态电路中的相量类同，后者有三要素：振幅(标量，常数)、频率和相位。前者也有三要素：振幅（矢量、空间坐标的函数）, 频率和相位。如果F的三个分量初相位相同，则有1） 正弦时变场量的相量形式2）正弦电磁场基本方程组的相量形式5.5.2 坡印亭定理的
4、相量形式在正弦电磁场中，坡印亭矢量的瞬时形式为称之为平均功率流密度。S 在一个周期内的平均值为容易证明同理其实部为平均功率流密度，虚部为无功功率流密度。定义坡印亭矢量的复数形式取体积分，利用高斯散度定理，有闭合面S内吸收的功率为有功功率 无功功率坡印亭定理的相量形式推导过程取散度，展开为此项可用于求解电磁场问题的等效电路参数例 5.5.1 平板电容器如图所示，当两极板间加正弦工频交流电压 u(t) 时，试分析电容器中储存的电磁能量。解：忽略边缘效应及感应电场, 则电场满足无旋性质，可表示为根据全电流定律，由位移电流产生的磁场为整理得图5.5.1 两圆电极的平板电容器H显然，电容器中储存电场能量
5、，磁场能量忽略不计,电磁场近似为EQS场。复坡印亭矢量电容器吸收功率(无功功率)图5.5.1 两圆电极的平板电容器解：忽略边缘效应及位移电流，则时变磁场可用恒定磁场的方法计算（为什么？）。显然，螺线管中储存磁场能量，电场能量忽略不计，电磁场近似为MQS场。从安培环路定律，得从电磁感应定律，得复坡印亭矢量螺线管吸收的功率(无功功率)例 5.5.2 N匝长直螺线管，通有正弦交流电流i(t)。试分析螺线管储存的电磁能量。图5.5.2 长直螺线管H结束注：磁铁与静电荷 产生的磁、电场不构成能量的流动。在静态场中，场量是动态平衡下的恒定量，坡印亭定理为在静态场中，场域内无源即: Ee =0 坡印亭定理为在静态场中，场域内无源且为非导体即： =0 坡印亭定理为一般情况下的坡印亭定理求解绝缘介质中的电场，设介质中的漏电流为因此代入（1）则：（1）得+ U -I设单位长度有 n 匝线圈,应用安培环路定律，有图5.5.2 无限长直螺线管H0Hii0l1（1）则由（1）得（2）i 为任意值，再将（2）代入（1）可得管外处处成立（3）结合（2）、（3）考虑，可知（2）式在管内处处成立，即
