《[高等教育]概率论与数理统计 随机变量的独立性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[高等教育]概率论与数理统计 随机变量的独立性（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立 .用分布函数表示,即概率论与数理统计若X,Y独立，则g(X),g(Y)也独立。则 相互独立等价于 有概率论与数理统计v设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为解得解得 或或 ； 或或设设 的分布律为的分布律为应满足什么条件？应满足什么条件？ 若若独立独立, ,求求. . 若若 相互独立相互独立, ,则则概率论与数理统计解vv例例1 1则 相互独立等价于 有概率论与数理统计v设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为v设(X,Y) N(1,2,1,2
2、,)，则设设 的密度函数为其它 问问(X, ,Y)是否独立？相互独立概率论与数理统计vv例例2 2的边缘密度分别为解v随机变量的分布是对随机变量的一种完整 的描述，知道随机变量的分布就全都知道 随机变量的所有特征。然后随机变量的概 率分布往往不容易求得的。概率论与数理统计v随机变量的这些统计特征通常用数字表示 的。这些用来描述随机变量统计性的数字 称为随机变量的数字特征。其中最重要的 是数学期望和方差二种。加 权 平 均初 赛复 赛决 赛总 成 绩算术 平均甲 乙90 85 53 228 76 88 80 57 225 75胜者 甲 甲 乙 甲 甲3:3:4 2:3:5 2:2:673.7 7
3、0.0 66.873.2 70.1 67.8甲 乙 乙学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负4.1 概率论与数理统计概率论与数理统计v设离散型随机变量X的分布律为 PX=xi=pi i=1,2,称为X的数学期望。数学期望是反映随机变量取值的集中趋势的量。vv例例3 3 某种产品每件表面上的疵点数服从参 数为8的泊松分布,若疵点数不超过1为一等 品，价值10元；疵点数大于1不多于4为二 等品，价值8元；其它为废品，不值钱.求： （1）产品的废品率； （2）产品的平均值。概率论与数理统计解 (1)设X为疵点数，则XP(0.8),其分布律为概率论与数理统计(2) 设Y为产品的价值，则Y的分布律为Y108
4、0PiPX1 P14概率论与数理统计v设连续型随机变量X的密度为f(x),称为X的数学期望。数学期望是反映随机变量取值的集中趋势的量。vv例例5 5 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .概率论与数理统计概率论与数理统计v若X是离散型随机变量，Y=g(X)是X的随机变 量函数，且E(Y)存在，则 若X是连续型随机变量，Y=g(X)是X的随机变 量函数，且E(Y)存在，则概率论与数理统计vv例例7 7 XU0, ,求概率论与数理统计vv例例8 8概率论与数理统计概率论与数理统计 若(X,Y)是二维离散型随机变量，Z=g(X,Y), 且E(Z)存在，则 若(X,Y)是二维连续型随机变量，
5、Z=g(X,Y), 且E(Z)存在，则vv例例9 9求E(X),E(Y),E(XY).概率论与数理统计解 X,Y的边缘分布为概率论与数理统计1.E (C ) = C2. E (aX ) = a E (X ) 3.E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 4.当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .线性性质vv例例1010概率论与数理统计解 设随机变量Xi为则X=X1+ X2+ + X10故 E(X)=E(X1)+ E(X2)+ + E(X10) 而E(Xi)=1-(9/10)20 i=1,2,10概率论与数理统计设有两种牌号的手表，其走时误差情况如
6、下表设有两种牌号的手表，其走时误差情况如下表试问哪种牌号的手表质量较好？试问哪种牌号的手表质量较好？可见两种手表的平均误差一样可见两种手表的平均误差一样概率概率( (牌号甲牌号甲) ) 概率概率( (牌号乙牌号乙) )日误差日误差( (秒秒) )设两种手表的走时误差分别为设两种手表的走时误差分别为 则则对于同一日误对于同一日误 差值，甲表的概率差值，甲表的概率 比乙的大，即平均比乙的大，即平均 说来甲表中误差大说来甲表中误差大 的占的比例较多，的占的比例较多， 故从直观上看，乙故从直观上看，乙 表的质量比甲好表的质量比甲好概率论与数理统计平方偏差平方偏差平方偏差的数学期望平方偏差的数学期望对对 考虑偏差考虑偏差对对若若存在存在, ,则称则称 为为 的的方差方差 称为称为标准差标准差概率论与数理统计方差的计算方差的计算求求设设 的密度函数为的密度函数为解概率论与数理统计求求设设概率论与数理统计的密度函数为的密度函数为解若若 ( (常数常数),),则则 设设为常数为常数, ,则则 对于对于有有特别当特别当独立时独立时, ,有有独立独立独立独立当当独立时独立时, ,是否有是否有若若独立独立, ,则则( (常数常数) )概率论与数理统计
